• 5

5. АПОРИИ ЗЕНОНА (II)

Мы рассмотрели два аргумента Зенона, с помощью

которых он пытался доказать, что движение не может

осуществиться, если время состоит из неделимых мо-

ментов. Теперь мы перейдем к анализу двух других его

аргументов, на основании которых он утверждал, что

движение равным образом невозможно, если время

(и соответственно пространство) является бесконечно

делимым,

В то время как апории ≪Стадий≫ и ≪Стрела≫ яв-

ляются независимыми друг от друга, две другие апории,

которые мы сейчас рассмотрим —≪Дихотомия≫ и

≪Ахилл≫, —внутренне связаны между собой. В каждой

из них рассматривается бесконечная последовательность

во времени, в одном случае направленная в прошлое,

в другом —в будущее. Согласно первой, движение ни-

когда не может начаться, так как прежде чем какой-

нибудь предмет сможет пройти расстояние (сколь угод*

но малое), он должен сначала пройти его половину, а

чтобы пройти.половину, он должен сначала преодолеть

четверть, и так далее ad infinitum. Следовательно, для

того чтобы пройти какое бы то ни было расстояние за

конечное время, предмет должен осуществить за это

время бесконечное число операций. Зенон отвергает это

как невозможное.

С другой стороны, в апории ≪Ахилл≫ Зенон утвер-

ждает, что можно доказать, считая движение возмож-

ным, что ≪существо, более медленное в беге, никогда не

будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему

необходимо раньше прийти в место, откуда уже двину-

лось убегающее, так что более медленное всегда имеет

некоторое преимущество≫'.

В этом кратком изложении Аристотель, между про-

чим, упоминает о ≪черепахе≫, однако комментатор Сим-

плиций (который жил в VI столетии н. э.) в более под-

робном пересказе апории пишет: ≪Этот довод называется

≪Ахилл≫ потому, что в нем речь идет об Ахилле, кото-

рый, как гласит этот довод, не может догнать черепаху,

которую он преследует. Ибо догоняющий должен, пре-

жде чем он догонит преследуемого, достигнуть точки, из

которой преследуемый начал свое движение. Но за

время, необходимое преследователю для достижения

этой точки, преследуемый пройдет еще какое-то расстоя-

ние. Даже если это расстояние меньше расстояния,

пройденного преследователем, поскольку преследуемый

движется медленнее, все же он продвинется вперед, так

как не стоит на месте... Таким образом, в течение ка-

ждого периода времени, за который преследователь по-

крывает расстояние, уже пройденное преследуемым, дви-

гающимся с более медленной относительной скоростью,

преследуемый пройдет еще дальше вперед на какое-то

расстояние; и хотя это расстояние постепенно умень-

шается в силу того, что преследующий имеет более вы-

сокую скорость, оно представляет собой продвижение

вперед на какую-то положительную величину. Итак,

беря эти уменьшающиеся в некоторой пропорции рас-

стояния бесконечное число раз, мы приходим в силу

бесконечной делимости величины к выводу о том, что

Ахилл никогда не догонит не только Гектора, но даже

черепаху≫ 1.

Заслуживает внимания расхождение во взглядах при

оценке этой апории. Пирс, например, говорит, что ≪эта

весьма бесхитростная уловка вовсе не представляет

трудностей для ума, надлежащим образом подготовлен-

ного и в логике и в математике≫2. С другой стороны,

Рассел оценивает четыре апории Зенона Элейского, свя-

занные с проблемой движения, как ≪чрезвычайно тонкие

и глубокие≫, несмотря на то, что ≪множество философов

объявляли Зенона искусным обманщиком, а все без

исключения его аргументы —софизмами≫3. В 1953году

один американский философ, опубликовавший свою ста-

тью в журнале ≪Analysis, писал об апории ≪Ахилл≫:

≪Это очень старая и, на мой взгляд, глупая проблема≫4,

тогда как в том же самом году Абрахам Френкель сде-

лал множество ссылок в своем блестящем трактате по

теории множеств на ≪эту знаменитую апорию, которая

оказала громадное влияние на развитие науки≫5.

В свете того факта, что эта неиссякаемая по своей глу-

бине проблема привлекает внимание многих блестящих

умов ', в отличие от столь же древней проблемы ≪квад-

ратуры круга≫, которая в своей оригинальной форме

привлекает в настоящее время только чудаков, можно

предположить, что те, кто игнорирует ее, упускают из

виду один весьма существенный момент.

Многие утверждают (например, Кэджори2), что эта

апория затрагивает вопрос о пределе функции, при

≪стремлении≫ ее аргумента к некоторому фиксирован-

ному значению. Аргументом в данном случае является

расстояние, покрываемое Ахиллом, а функцией —время.

Чисто арифметически мы вычисляем, где и когда Ахилл

должен догнать черепаху, и затем спрашиваем, ≪достиг-

ла≫ ли функция предела в том смысле, который подра-

зумевается Зеноном, то есть вычисляем соответствующее

значение функции. Как мы уже отмечали, Ньютон в от-

деле I книги I своих ≪Начал≫, по-видимому, утверждает,

что пределы функций всегда ≪достижимы≫. Тонкости,

связанные с этим вопросом, оставались для него не со-

всем ясными. Как мы уже видели, более глубокое иссле-

дование этой проблемы в XIX веке лишило смысла

математический вопрос о том, ≪достигает≫ ли перемен-

ная своего предела. Временные понятия, которые неиз-

бежно связывались с такими терминами, как ≪стре-

миться≫ и ≪достигать≫, в настоящее время совершенно

исключены из чистой математики. Поэтому возникает

вопрос об отношении математической формулировки

проблемы к действительной проблеме времени и движе-

ния, которая рассматривалась Зеноном.

Это осознавал Георг Кантор, но не до конца. Во вся-

ком случае, вначале Кантор рассматривал чисто мате≪

матическое понятие континуума, а не проблемы, связан-

ные с временем и движением. В течение столетий

мыслители пытались объяснить идею линейного конти-

нуума, но до Кантора никому из них не удалось опре-

делить его как линейное множество, обладающее

специфической структурой. Действительно, это понятие

должно, по-видимому, мыслиться либо как исходное по-

нятие, не подлежащее дальнейшему логическому и мате-

1 Неожиданное и весьма интересное обсуждение апории ≪Ахилл≫

можно найти в начале гл. XXII книги второй романа Толстого

≪Война и мир≫.

магическому анализу, либо как такое понятие, которое

основано на внелогическом и ≪нематематическом≫ по-

нятии времени 1.

При обсуждении смысла понятия континуума Кантор

пришел к выводу, что это понятие следует рассматри-

вать как более фундаментальное, чем понятие времени

или пространства или каких-либо других независимых

переменных. Кантор утверждает, что мы не можем на-

чинать с пространства или времени, ибо сами эти поня-

тия могут быть объяснены только с помощью понятия

непрерывности, которое не должно от них зависеть2.

Принятие этой точки зрения не обязывает нас, -однако,

соглашаться с Кантором, когда он утверждает, что спе-

циальное рассмотрение времени вовсе не является не-

обходимым в таких критических случаях, когда речь

идет о способности Ахилла догнать черепаху. Если для

простоты изложения принять, что скорость Ахилла в де-

сять раз больше скорости черепахи, то сумма последова-

тельных расстояний, которые Ахилл покрывает, достигая

по истечении каждого рассматриваемого интервала вре-

мени места, где находилась черепаха в начале этого интер-

вала, выражается бесконечным рядом следующего вида:

(A) 10+1 Ч- IQ + joo + юсе ~Ь ••• Сумма соответствующих интервалов времени дается

другим бесконечным рядом следующего вида:

(Т) i Т1Г0Г ~г inn ' 1000 -4-

Кантор утверждает, что если ряд А сходится к ко-

нечному пределу, то так же сходится и ряд Т. Сходи-

мость ряда А не зависит от временных соображений. Он

сходится, и, следовательно, Ахилл догонит черепаху.

С этой аргументацией были согласны Рассел, Уайт-

хед и Броуд, если ограничиться только тремя наиболее

известными учеными. Однако в то время как Рассел

отдает должное Зенону, Уайтхед отклоняет апорию

с ироническим замечанием о том, что Зенон совершил

математическую ошибку, обусловленную его незнанием

бесконечных числовых рядов '. Броуд, признавая реше-

ние Рассела, как оно изложено в книге ≪Принципы мате-

матики≫ (Principia Mathematica, 1903), отмечает, что

в этом решении обходятся отдельные трудности, ≪кото-

рые чувствуют многие умные люди≫, ибо это построение

не дает нам точки, в которой Ахилл догонит черепаху.

В краткой заметке, опубликованной в 1913 году, Броуд

отмечал, что, хотя число точек, данное в построении,

является бесконечным, они не исчерпывают все точки

линии, а из аргументации Зенона никак не следует, что

Ахилл и черепаха не встретятся в какой-нибудь точке,

которая не задается данным построением. "Такой точке

соответствует сумма ряда А 2.

Хотя Броуд надеялся, что этот аргумент позволит

окончательно решить спор, а это было, по его мнению,

весьма актуальной задачей, ≪потому что эта и другие

апории Зенона превратились в ≪охотничьи угодья≫ берг-

сонианцев и подобных им философов, презирающих че-

ловеческий разум≫. Этой надежде, однако, не суждено

'было осуществиться. И не удивительно, потому что из

предпосылки о непрерывности пространства и времени,

которая является предметом спора, следует, что Ахилл

должен пройти через все точки построения, прежде чем

он сможет догнать черепаху, а в этом и состоит корень

всех трудностей. Если Ахилл проходит через все точки

того пути, который ему предписан, то он выполняет бес-

конечную последовательность действий. Из того факта,

что весь интервал времени, который отпущен ему для

этого деяния, имеет конечную меру, еще не следует

автоматически вывод о том, что он в самом деле может

исчерпать эту последовательность. Как правильно

в 1909 году отметил Уильям Джемс, аргументация

(спустя двадцать лет она все еще признавалась Уайтхе-

дом), гласящая, что если бесконечный ряд, составлен-

ный из интервалов времени, имеет конечную сумму, то,

следовательно, Ахилл должен догнать черепаху, и ≪кри-

тика Зеноновых соображений совершенно не попадает

в цель. Зенон полне охотно согласился бы с тем, что

если черепаху вообще можно догнать, то ее можно до-

гнать, например, в двадцать секунд; но тем не менее он

настаивал бы, что ее нельзя догнать вообще≫'.

Современный спор идет вокруг вопроса о противоре-

чивости предположения о возможности выполнить бес-

конечное число операций. Поскольку бесконечный ряд

не имеет последнего члена, Макс Блэк говорит, что та-

кая последовательность операций невыполнима2. С дру-

гой стороны, Ричард Тэйлор и Дж. Уотлинг утверждают,

что Блэк не проводит различия между завершением

последовательности в смысле достижения последней

операции и завершением последовательности в смысле

осуществления всех операций. Оба смысла одинаковы

в случае конечного ряда, но в случае бесконечного ряда

только последний имеет значение. Уотлинг категориче-

ски утверждает, что ≪совокупность операций является

завершенной, если, и только если, была осуществлена

каждая из них. Когда совокупность является бесконеч-

ной, то осуществление каждой операции предполагает

выполнение всех операций, вплоть до конечной и плюс

еще одной, однако в этом нет ничего противоречивого≫ 3.

Тем не менее он завершает свое обсуждение, ставя сле-

дующий коренной вопрос: ≪Однако не является ли пара-

доксальным скорее то, что мы не можем понять, как

человек, который совершает какую-то последователь-

ность операций и ничего более и который намеревался

осуществить все эти операции, может внезапно обнару-

жить, что он уже проделал все операции?

То, что Рассела, например, не очень смущали такие

неясные идеи, было, по-видимому, обусловлено тем, что

на него громадное впечатление произвели блестящие

идеи Кантора об актуальной бесконечности. Хотя идея

о бесконечности как о постоянной величине ясно осозна-

валась некоторыми философами4 прошлого, особенно

св. Августином5, против нее решительно выступил ве-

личайший из математиков нового времени Гаусс, кото^

4 Правда, другими она отвергалась, например Джоном Локком,

который утверждал, что мы не можем ≪установить постоянную меру

для возрастающего объема≫ (≪Опыт о человеческом разумении≫,

книга II, глава 17, § 7).

рый утверждал, что представление о бесконечности

≪как о чем-то законченном≫ недопустимо с математиче-

ской точки зрения '. Кантор открыто и мужественно

выступил против подобного запрета. В 1883 году водной

из своих ранних публикаций, посвященных проблеме

актуальной бесконечности, Кантор писал: ≪По традиции

бесконечность рассматривают как неопределенно возра-

стающую величину или как нечто очень близкое сходя-

щейся последовательности, как это было принято

в XVII веке. Напротив, я представляю себе бесконечное

в определенной форме как нечто законченное, допускаю-

щее не только математические формулировки, но и опре-

деление с помощью числа. Эта концепция бесконечности

находится в противоречии с традиционной, которую

я очень ценю, и я против своей воли вынужден принять

эту точку зрения. Но многие годы теоретических раз-

мышлений и проверок указывают, что этот вывод логи-

чески необходим, и поэтому я уверен, что не существует

таких веских возражений, на которые я не был бы в

состоянии дать ответ≫. Выступая в защиту канторов-

ской теории бесконечных множеств как теории о вполне

законных объектах, подлежащих исследованию, мы,

однако, не должны упускать из виду тот факт, что,

строго говоря, они являются лишь творениями нашего

мышления. Даже если мы полностью признаем коррект-

ность канторовского анализа континуума, несмотря на

аргументы интуиционистов, согласно которым это поня-

тие нельзя рассматривать как замкнутую полную сово-

купность, мы не должны считать, что в действительно-

сти, то есть во времени, любая бесконечная последова-

тельность операций может быть выполнена, так как,

используя удачное высказывание Френкеля, ≪неописуе-

мая бездна разделяет конечное и бесконечное≫. Теперь,

если бы Ахилл проходил через всю последовательность

положений, в которых находилась черепаха, как и рас-

сматривал эту проблему Зенон, и при этом пересчиты-

вал бы их, то этим самым он исчерпал бы бесконечную

группу положительных целых чисел, пересчитав ее.

Однако сколь быстро бы он ни считал, это деяние не-

осуществимо, потому что ни одно бесконечное множе-

ство не может быть полностью перечислено при помощи

счета, даже когда мы имеем дело с так называемым

счетным множеством, как в данном случае, хотя можно

назвать любой из его членов, но нельзя пересчитать их

все. По сути дела, это различение имеет временной ха-

рактер: мы можем сказать, что эту операцию нельзя

завершить ни за какое время.

Поэтому согласие с канторовской теорией бесконеч-

ного обязывает нас точно различать бесконечное множе-

ство положений (которое Зенон рассматривает, анали-

зируя движение черепахи, и которое обязан пройти

Ахилл) и последовательность актов их прохождения.

Допуская возможным рассмотрение первого как сово-

купности, мы не можем делать вывод о законности та-

кого рассмотрения последней, поскольку, хотя первое

может мыслиться как статическая или завершенная бес-

конечность, последняя именно по своей природе должна

рассматриваться только как бесконечно возрастающая,

динамическая или незавершенная бесконечность.

Тенденция навязать геометрическое понимание вре-

мени привела к распространению канторовской беско-

нечности на временную сферу, где она неприменима.

Это видно из нового очень тщательного рассмотрения

Расселом апории ≪Ахилл≫. В ходе своего изложения '

Рассел сформулировал другой парадокс, который рас-

сматривал как ≪строго коррелятивный≫. У Стерна в его

известном одноименном романе Тристрам Шэнди, обна-

ружив, что для описания двух первых дней своей жизни

ему потребуется два года, сокрушался по поводу того,

что, таким образом, материал его биографии будет на-

капливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и

он никогда не сможет ее завершить. ≪Теперь я утвер-

ждаю, —говорил Рассел, —что если бы он жил вечно и

его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его

жизнь продолжала быть столь же богатой событиями,

как вначале, то ни одна из частей его биографии не

осталась бы ненаписанной≫. Рассел называет этот вы-

вод ≪парадоксом Тристрама Шэнди≫, но четко не разъ-

ясняет, в чем же заключается этот парадокс, если он

существует. Рассел отмечает, что, поскольку Тристрам

Шэнди успевает описывать за год событие только од-

В. R u s s e l l , The Principles of Mathematics, p. 358.

його дня, события rt-ного дня будут описаны в я-ом

году и что поскольку любой день является л-ным днем,

то он в конечном счете будет описан.

В этом выводе, по-видимому, нет ничего парадок-

сального или даже дискуссионного. Парадокс возникает

только в том случае, если мы предположим, что по-

скольку события любого дня будут описаны в биогра-

фии, то будут описаны и события всех дней. Действи-

тельно, автор никогда не опишет события всех дней, и

вообще незаконно рассматривать события его жизни

как законченное бесконечное множество. Следовательно,

неправильно представлять себе ситуацию таким обра-

зом, что число прожитых и описанных дней будет одним

и тем же. Но именно так поступает Рассел, когда утвер-

ждает: ≪Поскольку между временами событий и време-

нами их описания существует одно-однозначное соот-

ветствие и первые составляют часть последних, целое и

часть имеют одно и то же число членов≫. Это утвержде-

, ние предполагает, что данная последовательность собы-

тий, которая не может быть завершена, может рассма-

триваться как целое. Этот безвременной способ рассмо-

трения приводит Рассела, когда он излагает апорию

≪Ахилл≫ и ≪парадокс Тристрама Шэнди≫ ≪в строго ло-

гической форме≫, даже к тому, что он говорит о поло-

жениях в одном случае и событиях в другом так, как

будто бы соображения, применимые к первым, автома*

тически применимы и к последним.

В апории ≪Ахилл≫, в отличие от ≪парадокса Тристра-

ма Шэнди≫, время, которое необходимо для совершения

деяния, обычно предполагается как конечное, поскольку

считают, что как Ахилл, так и черепаха движутся равно-

мерно. Не существует, однако, никаких возражений про-

тив градуировки шкалы времени так, чтобы каждый

интервал времени, в течение которого Ахилл продви-

гается от положения, в котором он находился в начале

интервала, к Положению, где находилась черепаха в

тот же момент, был равен каждому другому такому

интервалу времени. Это новое измерение времени долж-

но идеально удовлетворять всем условиям проблемы,

поставленной Аристотелем и Симплицием, а также и

добавочному конкретному условию, которое мы нало-

жили из-за того, что скорость Ахилла всегда в 10 раз

больше скорости черепахи. В этом случае сумма

временных интервалов, о которых шла речь, будет уже

представляться не сходящимся рядом вида

(Т) 10 + ' I

1W inn1n00 0-r •••• а расходящимся рядом

(D) .1 + 1 + 1-1-1 + 1+....

Но должно ли из этого следовать, что Ахилл никог-

да не сможет догнать черепаху?

Мы видим: если не предполагается, что., шкала

времени выбрана так, что Ахилл и черепаха движутся

равномерно, условия проблемы не позволяют нам раз-

личать возможную сходимость или расходимость ряда

рассматриваемых интервалов времени, в частности (Т)

и (D). Конечному моменту, изображаемому числом 10/9

в шкале Т, будет соответствовать бесконечный момент

на шкале Ь. Следовательно, если этот момент соответ-

ствует какому-либо действительному или достижимому

состоянию мира, то из этого следует, что ни это состоя-

ние, ни любое более позднее не могут быть отмечены на

шкале D. Однако мы не можем сделать из этого вывод,

что состояние практически достижимо только потому,

что оно приписывается конечному моменту на той или

иной шкале времени, точно так же, как мы не можем

утверждать, что оно недостижимо только потому, что

ему не может быть приписан ни один такой момент.

Первую ошибку, по-видимому, совершало большинство

из критиков Зенона. Последняя может быть проиллю-

стрирована с помощью аналогии. Если у нас имеется

растяжимый измерительный шнур, состоящий из беско-

нечного числа отрезков, каждый из которых имеет длину

один дюйм, автоматически сжимающихся при растяже-

нии шнура так, что им нельзя измерить отрезок, боль-

ший данного интервала AB, то было бы неправильно

только из этого делать вывод, что большая длина суще-

ствовать не может.

Поэтому апорию ≪Ахилл≫ нельзя окончательно ре*

шить только с помощью вычислений, относящихся к той

или иной шкале времени. Напротив, мы должны ясно

представить себе, что проблема касается физических со-

бытий и что они существуют независимо от наших кон-

цепций, хотя наш анализ этих событий будет необходи-

мым образом подчиняться нашему способу мышления,

в частности каким-то частным гипотезам, которые нам

следует выдвинуть для того, чтобы сделать этот анализ

не только возможным, но и плодотворным. Что Ахилл

не догонит черепаху —это Зенон может утверждать,

пока не посинеет, но ему никогда не удастся доказать

это свое утверждение. Аргументы Зенона говорят ско-

рее о том, что его метод (и в сущности любой метод)

анализа пространства, времени и движения выдвигает

новую проблему, связанную с его применимостью. Таким

образом, апория Зенона связана не с вопросом о том,

догонит Ахилл черепаху или нет, а с вопросом о при-

менимости к изучению движения гипотезы о бесконеч-

ной делимости пространства и времени. Эту гипотезу

можно примирить с возможностью того, что Ахилл до-

гонит черепаху в том случае, если мы выдвинем новую

гипотезу, согласно которой как только он бесконечно

близко подходит к своей цели, то совершает в пределе

бесконечное число последовательных действий с беско-

нечной скоростью. Но бесконечная скорость (в пределе)

означает, что (в пределе) эти действия, в противоречие

с их определением как последовательных, одновременны.

Таким образом, мы видим, что, если этот метод изуче-

ния движения должен быть универсально справедлив

во всех приложениях, мы должны ввести логическую

фикцию (внутреннее противоречие) в виде бесконечно

быстрого следования .действий с целью компенсации ло-

гической фикции, заключающейся в возможности рас-

смотрения законченной бесконечности последовательно-

сти действий.

Остроумная идея о компенсации ошибок была

впервые предложена Беркли в 1734 году в его сочине*

нии ≪Аналитик≫, где он критиковал Ньютонов метод

флюксий. С помощью этой идеи Беркли пытался прими-

рить свое утверждение об ошибочности оснований это-

го метода с тем фактом, что он дает правильные резуль-

таты. Хотя мы теперь ясно понимаем, что схема Беркли

вовсе не нужна для оправдания математического анали-

за, сходный метод компенсирующих фикций, например

координат и общей ковариантности, рассматривается

теперь как неотъемлемая часть научного метода. В част-

ности, этот подход нужен нам для плодотворного приме-

нения понятия бесконечной делимости к представлениям

о времени и движении. Поскольку эти представления

уже не считаются имеющими отношение к пониманию

математического анализа, то отсюда" следует, что, хотя

математический ≪анализ можно применять для их рас-

смотрения, он не содержит их в себе. Следовательно,

аргументы, относящиеся к основаниям математического

анализа, не обязательно применимы к вопросам, связан-

ным с временем и движением.

Не удивительно, что применение принципа бесконеч≪

ной делимости времени оказывается связанным с логи-

ческими фикциями, построенными, строго говоря.,, в на-

рушение закона противоречия, ибо сам этот принцип

содержит именно такую логическую фикцию, что стано-

вится очевидным, когда апория Зенона ≪Дихотомия≫,

которую он, по-видимому, формулировал для движу-

щегося тела, применяется к самому времени, то есть к

любым часам. В этом случае Зенон должен утверждать,

что до истечения любого интервала времени (как бы он

ни был мал) должна истечь половина этого интервала,

равно как для того, чтобы могла истечь половина, дол-

жна истечь ее половина и т. д. до бесконечности. Сле-

довательно, до того как сможет истечь любой интервал

времени, должна истечь завершенная бесконечность пе-

рекрывающих друг друга подынтервалов. Таким обра-

зом, можно либо сделать вывод о необходимости отбро-

сить идею бесконечной делимости времени, либо, если

желательно использовать эту схему, нужно учитывать,

что это, строго говоря, логическая фикция'.

В итоге этого довольно пространного обсуждения

апорий Зенона, касающихся времени и движения, нам

представляется, что две из них, основанные на понятии

неделимости временных промежутков, покоятся на иных

основаниях, нежели две другие, которые связаны с

предположением о бесконечной делимости времени. При

1 Интересно сравнить и противопоставить друг другу апории

Зенона ≪Дихотомия≫ и ≪Ахилл≫ с аргументацией Канта, согласно

которой до настоящего момента не могло существовать бесконеч-

ного числа состояний вещей, потому что такой бесконечный ряд

никогда не может быть завершен путем последующего синтеза (см.

стр. 446). В случае, рассматриваемом Зеноном, бесконечный

ряд последовательных действий является чисто мысленным рядом,

вытекаюшим из нашего метода анализа, тогда как у Канта беско-

нечные ряды предполагаются ex hypothesi действительно имеющими

место.

правильном анализе оказывается, что первые не содер-

жат никаких логических антиномий; хотя они, по-види-

мому, противоречат здравому смыслу. Однако последние

являются истинными парадоксами, содержащими логи-

ческие антиномии. Итак, мы можем сделать заключение,

что гипотеза о существовании временных промежутков,

то есть о существовании какого-то определенного пре-

дела делимости времени, с логической точки зрения

является предпочтительной по сравнению с альтернатив-

ной гипотезой, согласно которой время действительно

непрерывно, то есть бесконечно делимо. Тем не менее

последняя гипотеза оказывается более доступной для

математического рассмотрения и при помощи метода

компенсирующих фикций ее можно использовать для

получения последовательных и правильных результатов.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я