4. АПОРИИ ЗЕНОНА (I)

Утверждение о том, что теория математической пере-

менной и континуума автоматически устраняет извест-

ные парадоксы времени и движения, связанные с име-

нем Зенона Элейского, имеет прямое отношение к осво-

бождению этой теории от всех рассуждений, использую-

щих понятие времени. Например, апория ≪Летящая

стрела≫, согласно которой стрела не может двигаться,

поскольку в каждый момент своего полета она занимает

пространство, равное самой себе, и, следовательно, ей

некуда двигаться, не может быть решена, как утвер'

ждает Бойер, с помощью простого указания на то, что

≪она непосредственно содержит в себе понятие произ-

водной и может быть решена с помощью последнего≫ ',

поскольку это понятие свободно от каких бы то ни было

ссылок на представление о времени Тн движении, а по-

следние являются как раз теми самыми представления-

ми, с которыми связана эта апория.

Хотя мы не знаем точно, ни какую цель преследовал

Зенон, формулируя свои апории, ни даже их первона-

чальную формулировку, философский интерес к ним не

ослабевал в течение двадцати четырех столетий и пока

не наблюдается никаких признаков его уменьшения.

Так, с 1951 по 1953 год только один английский журнал

≪Analysis≫ опубликовал не менее семи статей на эту

тему.

Расцвет деятельности Зенона, уроженца Элей в

Южной Италии, приходится примерно на середину V

столетия до н. э. Он был учеником Парменида, родона-

. чальника логической аргументации в философии. Пар-

менид считал ощущения обманчивыми и полагал, что

реальность неделима и безвременна. Возможно, что

вначале он был пифагорейцем, так как, подобно послед-

ним, полагал, что мир имеет сферическую форму. Его

ученик Зенон применил свои выдающиеся логические

способности для дальнейшего развития доктрины своего

учителя, пытаясь доказать, что идеи множественности и

изменения приводят к логическим антиномиям. В част-

ности, он подверг критическому рассмотрению понятие

времени в своих четырех апориях, связанных с пробле-

мой движения. Эти апории распадаются на две группы

согласно тому, как рассматривается в них время (а соот-

ветственно и пространство)—как дискретное или как

непрерывное, то есть предполагается ли, что оно соста-

влено из неделимых единиц малой, но конечной дли-

тельности или же из бесконечно делимых.

Апория ≪Стрела≫ направлена против утверждения,

что время состоит из неделимых моментов. Она допол-

няется остроумным аргументом, известным под назва-

нием ≪Стадий≫, который весьма туманно излагается

Аристотелем2, чья ≪Физика≫ является для нас первым

т е л ь , Физика, Соцэкгиз, М., 1937, стр. 143.

из сохранившихся источников, содержащих ссылки на

учение Зенона. Суть аргументации Зенона, которая

также содержит в себе пифагорейское представление о

том, что пространство состоит из дискретных точек, по-

видимому, может быть выражена следующим образом 1.

Ряд точек ]А движется мимо неподвижного ристалища S,

также разбитого на точки, с такой скоростью, что за

А 1

S /

2

2

3

3

A 1

S

2t

3

'г '6

Рис. 3.

единицу времени он передвигается на одну точку. Два

чертежа на рис. 3 представляют А по отношению к S

в два последующих момента времени. Предположим

также, что другой ряд точек В движется с той же ми-

нимальной скоростью, что и А, но в противоположном

направлении. Тогда в последующие моменты возникнет

расположение, изображенное на рис. 4, на котором мы

видим, что в последующие моменты В\ находится в од-

ном столбце с A I , а затем —в одном столбце с A3.

А

SВ

1 2 A t

S

В

2 3

/ 2

;

3

2 3

Рис. 4.

Зенон утверждал, что это абсурдно, так как при движе-

нии А в одном направлении, а В в другом должен су-

ществовать такой момент, когда ßl находится в одном

столбце с А2 —точкой, расположенной посередине ме-

жду AI и ЛЗ. Это противоречит представлению о том,

что два ранее рассмотренных момента следуют друг за

другом. Итак, последовательных моментов не существует

1 В своей интерпретации этой апории мы скорее согласны с Берт-

раном Расселом (≪The Principles of Mathematics≫, 2nd ed., London,

1937, p. 352), чем с автором статьи ≪Зенон Элейский≫ в 13-м из-

дании ≪Encyclopedia Britannica≫, который утверждал, что если тра-

диция не исказила Зенона, то он повинен з игнорировании относи-

тельного характера скорости.

и время, таким образом (а соответственно и простран-

ство), является бесконечно делимым.

Эта апория Зенона, несмотря на все ее остроумие,

решается довольно просто, так как, если пространство и

время состоят из дискретных единиц, в этом случае отно*

сительные движения должны быть таковы, что ситуа-

ции, изображенные на рис. 4, могут случаться в после-

дующие моменты. Отрицание Зеноном этой возможности

основывается не на логическом законе, а просто на оши-

бочной апелляции к ≪здравому смыслу≫. В самом деле,

прибегая к этой апелляции, Зенон сам фактически со-

вершил логическую ошибку, так как в действительности

он молчаливо предполагает постулат непрерывности,

который несовместим с гипотезой, принятой в начале

рассуждения. Как это ни странно, но если мы примем

такие гипотезы, то движение будет представлять собой

прерывную последовательность различных конфигура-

ций, как в кинофильме, и ни в какой момент времени не

будут существовать промежуточные конфигурации.

Переход электрона с одной орбиты на другую рассма-

тривается в элементарной теории атома Бора именно

как переход такого типа.

Опровергнув Зенонову апорию ≪Стадий≫, мы стал-

киваемся с апорией ≪Стрела≫, которая также является

аргументом против гипотезы о существовании моментов

времени. Весьма забавный вариант этой апории был

приведен в статье о Зеноне в знаменитом ≪Словаре≫

Бейля, который был опубликован в 1696 году. Он рас≪

сказывает, со слов Секста Эмпирика, историю о софисте

Диодоре, который в своих лекциях отрицал существова-

ние движения. Вывихнув себе плечо, он пришел к ле-

карю, чтобы вправить его. ≪Как? —сказал лекарь. — Вы вывихнули себе плечо! Но этого не может случиться,

ибо если оно двигается, то оно двигается либо в том

месте, где ему следует находиться, либо в том месте,

где ему быть не полагается. Однако оно не двигается

ни на своем месте, ни в том месте, где ему быть не по-

ложено, так что оно не может ни действовать, ни вызы-

вать каких-либо страданий, даже если оно находится

не на том месте, где должно быть≫ '.

Апория Зенона ≪Стрела≫ поднимает глубокие про-

блемы, связанные с природой движения. Американский

философ Чарлз Пирс (1839—914), чьи работы в послед-

ние годы привлекают гораздо больше внимания, чем это

было при его жизни, переформулировал эту апорию

в виде следующего силлогизма ':

Большая посылка: Никакое тело, которое не зани-

мает места больше, чем оно само, не движется.

Меньшая посылка: Каждое тело не занимает места

больше, чем оно само.

Вывод: Следовательно, ни одно тело не движется.

Ошибка, по его мнению, заключена в меньшей по-

сылке, которая истинна только в том смысле, что в те-

чение достаточно короткого времени пространство, за-

нимаемое телом, больше, чем оно само, на сколь угодно

малую величину. Пирс пришел к следующему заключе-

нию: из всего этого можно сделать лишь вывод, что вне

времени тело не проходит никакого расстояния. Хотя

эта частная форма аргументации представляет некото-

рый интерес, она все же является несовершенной, по-

тому что в ней не принимается во внимание концепция

движения, которая содержится в большей посылке.

G другой стороны, Бертран Рассел ограничился об-

суждением парадокса, содержащегося в этой посылке.

По его мнению, Зенон предполагал, что когда вещь ме-

няет свое положение, то в вещи должно быть какое-то

внутреннее состояние изменения; другими словами, дви-

жущееся тело находится в ≪состоянии движения≫, кото-

рое качественно отлично от состояния покоя. ≪Далее

Зенон указывает, —говорит Рассел, —что в каждый

момент стрела просто находится там, где она находится,

подобно тому как было бы, если бы она покоилась. От-

сюда он заключает, что состояния движения быть не

может, и поэтому, оставаясь верным той точке зрения,

что состояние движения необходимо для движения, он

делает вывод, что движения здесь быть не может и что

стрела всегда покоится≫2. Эта аргументация Рассела

подымает важные вопросы, но дело теперь не в том.

Я позволю себе заметить, что данная апория Зенона

совпадает с точкой зрения самого Рассела, согласно ко-

торой движущееся тело качественно не отличается от

покоящегося и движение можно рассматривать только

как изменение положения. За мгновение времени не мо-

жет произойти никакого изменения положения, и, следо-

вательно, говорит Зенон, движения быть не может. Если

бы благодаря движению в теле происходило какое-то

внутреннее изменение, то в таком случае сформулиро-

ванная выше большая посылка была бы несостоятель-

ной. Напротив, основная сила аргумента Зенона, как' я

себе представляю, вытекает из выраженного в этой по-

сылке интуитивного убеждения в том, что движение

можно анализировать только с помощью состояний дви-

жения, а не состояний покоя. Другими словами, движе-

ние может состоять только из движений, а не из непод≪

вижностей.

Отсюда следует, что существует два противополож-

ных способа избежать вывода Зенона. Мы можем либо

•различать в любое мгновение движущееся тело- от по-

коящегося с помощью какого-то наглядного свойства,

отличного от изменения положения, так как последнее,

как правильно отмечает Зенон, не может быть мгновен-

ным, за исключением идеального случая бесконечной

скорости, который мы здесь не рассматриваем, либо мы

можем смело предположить решение (которое Зенон

отвергал как парадоксальное), а именно: движение мо-

жет быть составлено из неподвижностей. Рассел вместе

с Зеноном отрицает первую возможность и весьма

близок к нему в вопросе о второй. ≪Вейерштрасс, строго

запретив все бесконечно малые,-—пишет Рассел, ссы-

лаясь на строгую арифметизацию последним математи-

ческого анализа и дифференциального исчисления,— показал в конечном счете, что мы живем в неизменном

мире и что стрела в каждый момент своего полета фак-

тически покоится. Единственным пунктом, в котором

Зенон, вероятно, ошибался, был его вывод (если он дей-

ствительно его сделал) о том, что, поскольку не суще-

ствует никаких изменений, мир все время должен нахо-

диться в одном и том же состоянии как в одно время,

так и в другое≫ '.

Точку зрения Рассела можно сформулировать более

дипломатично. Если мы согласны, что движение озна-

чает только изменение положения, в том смысле, что

тело в различные моменты времени находится в различ-

ных местах, то тогда, каким бы странным это ни каза-

лось, нет ничего нелогичного в следующем утверждении:

поскольку в каждый момент времени тело находится

в одном-единственном положении, постольку в этот мо-

мент его нельзя отличить от покоящегося тела, находя-

щегося в том же самом месте. Серия фотографий летя-

щей стрелы, рассматриваемых по отдельности, показы-

вает ее в виде последовательности квазистационарных

состояний. Когда эти снимки демонстрируются через

киноаппарат с достаточно большой скоростью, то вслед-

ствие стробоскопического эффекта стрела предста-

вляется нам летящей. Различие между изложенными

выше двумя интерпретациями зависит, по существу, от

того, сколь быстро меняются фотографии перед нашими

глазами, то есть только от временного отношения одной

фотографии к другой. Если мы считаем это явление точ-

ной аналогией и рассматриваем движение как такой фе-

номен, который нужно относить к различным мгнове-

ниям, тогда парадокс Зенона рушится, поскольку в при-

веденном выше силлогизме фраза ≪движется≫, строго

говоря, означает ≪движется в данное мгновение≫, а это

бессмысленно.

Хотя эта аргументация решает апорию ≪Стрела≫

с чисто логической и семантической точки зрения, она

совершенно не решает вопроса, если к нему подходить

с точки зрения физики и натуральной философии. Од-

нако дефиниция движения, которую мы приняли, сколь

бы естественной она нам ни казалась, отнюдь не

является очевидной. В самом деле, она весьма запутан-

на. Это становится особенно ясным, если рассмотреть

историю вопроса. Например, в XIV веке при обсуждении

схоластами проблемы движения Иоанн Дуне Скот гово-

рил, что движение —это forma fluens (текучая форма),

непрерывное течение которой нельзя разделять на после-

довательные состояния 1, тогда как Григорий из Римини

1 В наше время приверженцем этой точки зрения был извест-

ный французский философ Бергсон. Он полагал, что при рассмо-

трении проблемы движения мы должны проводить различие между

утверждал, что движение —это fluxus formae (текучесть

формы), или ≪течение формы≫, непрерывный ряд разли-

чимых состояний. Григорий говорил, что в процессе дви-

жения движущееся тело приобретает от момента к мо-

менту ряд различных атрибутов места'. На его

взглядах сказалось, в частности, влияние философа-

номиналиста Уильяма Оккама, который отрицал, что

движение обязано своим появлением реальному суще-

ствованию какой-либо формы или течению формы в

движущемся теле. Вместо этого достаточно считать, что

движущееся тело в различные мгновения находится

в различных пространственных отношениях с другими

телами. Эта идея, заключающаяся в том, что движение

есть отношение, а не качество, разделялась также Ни-

колаем Отрекуром. Его определение движения хорошо

сформулировал Вейнберг следующим образом: ≪ ≪я дви-

жется≫, означает, что ≪х находится в а в момент t, x не

совпадает с & в момент t, x находится в & в момент t\ и

не совпадает с а≫≫2. Это как раз та концепция движе-

ния, которую мы приняли выше.

Мысль о том, что движение есть скорее отношение,

чем качество, является необходимой предпосылкой за-

кона инерции, хотя, конечно, следует проявлять осторож-

ность и не усматривать в формулировках ранних авторов

сознательного предвосхищения открытий более поздних

авторов, в частности таких как закон равноправия со-

стояния равномерного и прямолинейного движения и со-

стояния покоя. Согласно принципу относительности рав-

номерного движения в классической механике, равномер-

но движущееся тело во всех отношениях тождественно

телу покоящемуся: его состояние движения никоим обра-

зом не изменяет его самого, оно меняет лишь его поло-

жение. Однако с созданием специальной теории относи-

тельности (которую мы рассмотрим в гл. IV) в эту кон-

цепцию были внесены некоторые тонкие изменения. Хотя

пройденным пространством и актом, посредством которого оно про-

ходится. Он утверждал, что первое можно разделять на части,

а последнее нет, ибо ≪делить можно вещь, но не акт≫ (А. Бергсон,

Время и свобода воли, М., 1910, стр. 96).

равномерно движущееся тело еще рассматривается как

внутренне тождественное ему же, находящемуся в покое,

однако, с точки зрения наблюдателя, по отношению к

которому тело движется, дело обстоит иначе. Его отно-

сительная пространственная протяженность сокра-

щается в направлении движения на некоторую долю,

зависящую от скорости тела. Хотя это сокращение Фиц-

джеральда —Лоренца, как его называют, не противо-

речит нашему аргументу, опровергающему апорию Зе-

нона ≪Стрела≫, оно оказывается неожиданно связанным

с уточнением формулировки этой апории, поскольку

вместо рассмотрения движущегося тела, занимающего

либо место не большее, чем оно есть само, либо место

несколько большее, чем оно есть само, что мы предпо-

читали ранее в зависимости от того, рассматривали ли

мы его в момент времени или в течение достаточно ко-

роткого интервала времени, теперь мы должны счи-

таться с возможностью, в соответствии с которой дви-

жущееся тело как бы занимает места меньше, чем оно

само есть; иначе говоря, когда оно движется, оно зани-

мает меньше места, чем когда покоится! У апории

≪Стрела≫ имеется интересный двойник в виде апории

≪Пшенное зерно≫. Среди других апорий Зенона эта апо-

рия стоит особняком, и очень часто ею пренебрегают.

Согласно свидетельству Симплиция, между Зеноном и

софистом Протагором состоялся следующий диалог:

≪В самом деле, Протагор, —молвил он, —скажи мне,

производит ли при падении шум одно пшенное зерно

или одна десятитысячная часть зерна?≫ Когда же Про-

тагор ответил, что не производит, Зенон спросил его:

≪А медимн пшена производит при падении шум или

нет?≫ Протагор ответил, что да. Тогда Зенон сказал:

≪Что же, следовательно, не существует количественного

отношения между медимном пшена и одним (целым)

пшенным зерном или десятитысячной частью одного

зерна?≫ Когда же тот сказал, что (количественное отно-

шение между ними) существует, Зенон сказал: ≪Что же,

не будут ли и у шумов те же самые взаимные отноше-

ния? Ведь как (относятся друг к другу предметы), про-

изводящие шум, так (относятся друг к другу) и самые

шумы. А если это так, то, раз медимн пшена производит

шум, произведет шум и одно зерно и десятитысячная

часть зерна≫. Вот каким образом вел Зенон научную

беседу≫ '.

Аристотель отделался от решения упомянутого пара-

докса кратким замечанием: ≪Поэтому-то неправильно

рассуждение Зенона, что любая часть пшенного зерна

произведет шум, так как вполне возможно, что в какое

угодно время она не приведет в движение воздух, ко'то-

рый привел в движение при своем падении медимн≫2.

Аналогичное замечание делает и автор статьи о Зеноне

в 13-м издании ≪Британской энциклопедии≫: ≪В самом

деле, трудно понять, как такой острый мыслитель...

не принял во внимание ' несовершенство органов

чувств≫.

Вероятно, в силу таких критических замечаний дан-

ная апория не привлекала практически никакого внима-

ния со стороны тех, кто потратил много энергии на рас-

смотрение других апорий Зенона. Как я уже отмечал

в другом месте 3, эти критические замечания бьют мимо

цели. Мне кажется, что аргументацию Зенона можно

интерпретировать следующим образом. С логической

точки зрения величина, отличная от нуля, не может

быть порождена конечным числом нулевых величин:

ex nihilo nihil fit (из ничего ничто не возникает). Следо-

вательно, если слышимый звук может быть порожден

совместным действием конечного числа ≪неслышимых

звуков≫, то в этом случае ≪нечто≫ порождается конечным

числом ≪ничто≫, и таким образом мы сталкиваемся с

противоречием между разумом и опытом. Аналогия

с утверждением, что движение не может быть составлено

из серии состояний покоя, представляется нам в данном

случае очевидной.

Апория ≪Пшенное зерно≫ связана с проблемой при-

менимости законов арифметики к объектам и событиям

нашего опыта. Вопреки отношениям между временем и

числом, рассмотренным в первом параграфе настоящей

главы, обычно считают, что применение обычной ариф-

метики не зависит от временных соображений: в част-

ности, сумма конечной совокупности объектов не зави≪

сит от того порядка, в котором они пересчитываются,

тогда как временная последовательность связана с

единственным порядком. Более того, каждое событие

≪уничтожает≫ своего предшественника, тогда как в по-

следовательности чисел этого не происходит. Однако,

как это было однажды отмечено Уайтхедом ', можно

себе представить случай, когда счет самым тесным об-

разом связан со временем и обычная арифметика не-

применима. Уайтхед приводит интересную легенду

о Никейском соборе. ≪Когда епископы заняли свои ме-

ста в креслах, их было 318, но, когда они поднимались

во время переклички, оказалось, что их 319, и они никак

не могли установить истинное число: всякий раз когда

счет подходил к самому последнему в ряду, он немед-

ленно превращался в подобие своего следующего со-

седа≫. Как отмечает Уайтхед, ≪какова бы ни была исто-

рическая достоверность этой истории, можно с уверен-

ностью сказать, что ее ложность нельзя доказать с по-

мощью дедуктивного рассуждения, основанного на пред-

посылках абстрактной логики≫, так как ≪вполне воз-

можно представить себе вселенную, в которой любой

акт счета, осуществляемый находящимся в ней суще-

ством, уничтожал бы некоторых членов класса, подле-

жащих перечислению, причем уничтожал бы только на

то время, когда ведется счет≫.

Возвратимся теперь к случаю, описанному Зеноном.

Если мы рассматриваем звук, производимый медийном,

как ≪сумму≫ неслышимых звуков, производимых по от-

дельности падающими зернами, то временной фактор

будет иметь решающее значение. Если зерна падают по

отдельности в моменты, достаточно далеко отстоящие

друг от друга, то они не произведут никакого шума

в виде суммарного эффекта, однако если они падают

одновременно, то мы услышим звук. Эта апория суще-

ственно отличается от апории ≪Стрела≫, в которой со-

стояния покоя, составляющие движение, являются по-

следовательными, тогда как неслышимые звуки произво-

дят слышимый звук только в том случае, если они одно-

временны.