3. ВРЕМЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В течение XVII столетия геометризация времени при-
вела к замечательным достижениям в математике, обу-
словленным успешным применением кинематических
методов. Так, изобретение логарифмов Непером, сообще-
ние о котором было опубликовано в 1614 году, основы-
валось на сравнении двух движущихся точек, как пока-
зано на рис. 2. Точка P движется вдоль прямой AB,
в то время как другая точка Q движется вдоль беско-
вечной линии, начинающейся в точке С. Обе точки
обладают в начале движения, когда точка P находится
в точке A, a Q —в точке С, одинаковой скоростью.
Однако в то время как Q имеет все время одинаковую
скорость, скорость точки P в любое* мгновение пропор-
циональна расстоянию РВ. Непер определял логарифм
числа измеряемого расстояния РВ как число, которым
измеряется расстояния CQ.
Выдающимся математическим достижением, которое
связано с геометризацией времени, является, конечно,
изобретение Ньютоном исчисления флюксий. Ньютоново
понятие флюксии было основано на молчаливой апелля-
ции к нашему интуитивному представлению о движении.
На Ньютона .оказал сильное влияние, а частично и пред-
восхитил, его учитель и предшественник по лукасовской
кафедре Исаак Барроу. Как Барроу, так и его знамени-
тый современник, но профан в области математики
Томас Гоббс выступали против арифметизации матема-
тики, защищаемой Джоном Уоллисом, савильянским
профессором в Оксфорде. В противовес ему они под-
черкивали фундаментальное значение непрерывной гео-
метрической величины. Тем не менее между их точками
зрения имелось важное различие.
Гоббс, критические замечания которого были стиму-
лированы тем, что Уоллис опроверг его наивные попытки
найти ≪квадратуру круга≫, сильно бранил книгу Уол≪
лиса ≪Арифметика бесконечного≫ (≪Arithmetica Infinitorum
≫) как ≪подлую книгу≫ ' и называл арифметизацию
геометрии Уоллисом в ≪Трактате о конических сечениях≫
(≪Tractatus de Sectionibus Conicis≫) как ≪чесотку сим-
волов≫ 2. Успехи Галилея в обосновании динамики, опи-
равшемся на представление об измерении скорости, про-
извели на Гоббса большое впечатление, и он пытался
сделать понятие скорости основой всей своей филосо-
фии. Гоббс ввел понятие импульса (conatus) как источ-
ника геометрической протяженности. Движение в точке
он рассматривал как движение, которое совершается
внутри минимально возможного неделимого интервала.
Время Гоббс определил как простой ≪фантом≫, или
бледный образ', отражающий в нашем уме свойство
движения быть ≪раньше≫ и ≪позже≫. Гоббс не рассма-
тривал его как меру движения, поскольку ≪мы мерим
время движением, а не движение временем≫2. Хроме
того, с его точки зрения, ≪только настоящее имеет бытие
в природе, прошлые вещи имеют бытие лишь в памяти,
а будущие вещи не имеют никакого бытия. Будущее
есть лишь представление ума, применяющего послед-
ствия прошлых действий к действиям настоящим...≫3
Барроу, хотя и находившийся в оппозиции к ариф-
метическим и алгебраическим тенденциям Уоллиса (а
также некоторых математиков континента) и разделяв-
ший точку зрения Гоббса, согласно которой математику
следовало отождествлять с геометрией, тем не менее
понимал значение времени. В этом отношении его сле-
дует рассматривать как своего рода пионера, ибо для
большинства мыслителей его времени пространство было
куда более важным понятием. Так, даже Декарт, несмо-
тря на то что он понимал полезность алгебры и про-
являл глубокий интерес к проблемам движения, был так
захвачен понятием геометрической протяженности, что
для него время было относительно несущественным. Он
рассматривал протяженность как главный атрибут фи-
зических вещей, а время для него было лишь способом
нашего мышления о них *.
1 С другой стороны, Галилей совершенно игнорировал проблему
соотношения его геометрического представления универсального вре-
мени с индивидуальным или психическим временем. Время в гали-
леевской вселенной в действительности было просто четвертым из-
мерением пространства.
2 Т. Гоббс, Избранные сочинения, Госиздат, М.—Л., 1926,
стр. 68.
Точка зрения Барроу на природу времени предста-
вляет большой интерес не только сама по себе, но еще
и потому, что она оказала влияние на Ньютона. В са-
мом деле, точно так же как философия пространства
Ньютона происходит от кембриджского платоника
Генри Мора, его философия времени восходит к взгля-
дам Барроу, чьи лекции он посещал, будучи студентом.
В своих ≪Лекциях по геометрии≫ Барроу утверждал, что,
≪поскольку математики часто пользуются идеей време-
ни, они должны иметь определенное представление о
значении этого слова, в противном случае они являются
шарлатанами≫ '. Хотя Барроу полагал, что ≪существует
большое родство и аналогия между пространством и
временем≫, он все же их строго разграничивал. Барроу
критиковал Гоббса за то, что ≪он не боялся сравнивать
между собой линии и времена как однородные количе-
ства, образующие взаимную пропорцию, хотя природа
этих вещей далека друг от друга≫2. Барроу находился
,под глубоким впечатлением применения кинематиче-
ского метода в геометрии, который был с величайшим
успехом изучен учеником Галилея —Торичелли, и пола-
гал, что для понимания этого метода необходимо изу-
чить время. Хотя время измеряется движением, Барроу
точно подметил, как и Плотин, критикуя Аристотеля,
что ойо не может являться ни мерой движения, ни само
не может быть измерено движением.
Согласно Барроу, ≪время обозначает не действитель-
ное существование, а определенную способность или
возможность непрерывного существования, точно так же,
как пространство означает способность к наличию дли-
ны. Время не содержит в себе движения, поскольку
рассматривается его абсолютная и внутренне ему при-
сущая природа; точно так же оно не содержит в себе
покоя; двигаются ли вещи или покоятся, спим ли мы
или бодрствуем —время продолжает равномерно течь
своим путем≫3.
Мы видим здесь источник знаменитого определения
Ньютона: ≪Абсолютное, истинное, математическое время
само по себе и по самой своей сущности, без всякого
отношения к чему-либо внешнему протекает равномер-
но≫. Барроу продолжает: ≪Время подразумевает, что
движение поддается измерению; без движения мы не
восприняли бы ход времени. Очевидно, нам следует рас-
сматривать время как текущее равномерно, следова-
тельно, его нужно сравнивать с каким-либо имеющимся
равномерным движением, например движением звезд и,
в частности, Солнца и Луны...≫ Однако Барроу на этом
не останавливается. На вопрос, откуда известно, что
Солнце движется одинаково и что один день или год
в точности равен другому, он отвечал: ≪Если известно,
что солнечные часы находятся в согласии с движениями
какого-либо рода инструментов, измеряющих время, и
устроены таким образом, что их движение происходит
равномерно и представляет собой следование одного за
другим повторений присущего только им движения, при
соответствующих обстоятельствах охватывающего либо
целые периоды, либо пропорциональные их части, тогда
будет правильным сказать', что они регистрируют оди-
наковое движение. По-видимому, строго говоря, следует
сказать, что небесные тела являются первыми к перво-
начальными мерами скорее не времени, а тех движений,
которые мы наблюдаем при помощи чувств и которые ле-
жат в основе наших экспериментов, поскольку мы судим
с их помощью о равномерности небесных движений. Даже
само Солнце не заслуживает того, чтобы быть судьей
времени или рассматриваться как правдивый свидетель,
за исключением того случая, когда инструменты, изме-
ряющие время, подтверждают его правдивость своими
показаниями≫.
Барроу отвечает на вопрос о конечной связи времени
и движения следующим образом: ≪Время может быть
использовано как мера движения, точно так же как про-
странство может быть измерено с помощью какой-
нибудь величины, после чего оно может быть использо-
вано для оценки других величин, соизмеримых с первой,
то есть мы сравниваем одно движение с другим, исполь-
зуя время в качестве посредника≫. Он рассматривает
время как существенно математическое понятие, которое
имеет много аналогий с линией, ≪поскольку время обла-
дает только длиной, подобно ей во всех своих частях и
может рассматриваться как составленное путем простого
сложения последующих мгновений или как непрерывное
течение одного мгновения либо как прямая, либо как
окружность≫. Это ясное утверждение является, по-види-
мому, самой ранней четкой формулировкой понятия
геометрического времени, ибо Евклид говорил только об
отрезках прямой линии, а не о полной прямой линии
в нашем понимании, а Галилей для обозначения опреде-
ленных временных интервалов пользовался только та-
кими отрезками. Тем не менее, как уже отмечалось,
Барроу не отождествлял время с линией. Время, с его
точки зрения, было ≪длительностью чего-либо в своем
собственном бытии≫, а в отрывке, к которому мы еще
вернемся в главе IV, он отмечал: ≪И я тоже не верю,
чтобы кто-нибудь не допускал, что те вещи существуют
одинаковое время, которые возникли и погибли вме-
сте≫ '.
Обсуждая вопрос об аналогии между временем и
линией, Барроу указывает, что последняя может рас-
сматриваться либо как составленная из точек, либо как
след движущейся точки. Аналогично, утверждает он,
время может мыслиться либо как совокупность мгнове-
ний, либо как непрерывное течение одного мгновения.
С математической точки зрения его кинематический ме-
тод был чрезвычайно плодотворным. Если бы Барроу
не был решительным приверженцем синтетического
стиля древних геометров и не отрицал сознательно
алгебраические методы, то он, возможно, предвосхитил
бы Ньютона в открытии дифференциального исчисле-
ния, этого мощного средства математического анализа.
Как Барроу, так и Ньютон столкнулись лицом к лицу
с весьма тонкими проблемами континуума и природы
мгновенной скорости.
Взглядам Барроу на эти вопросы очень недостает
строгости. ≪Каждому мгновению времени, или неогра≪
ниченно малой частице времени (я говорю ≪мгновение≫,
или ≪неограниченно малая частица≫, ибо безразлично,
предполагаем ли мы, что линия состоит из точек или же
из неограниченно малых отрезков; и точно так же не
важно, предполагаем ли мы, что время состоит из мгно-
вений, или из неограниченно малых временных интерва-
лов), я повторяю: каждому мгновению времени соответ-
ствует известная степень скорости, которой обладает
в это мгновение рассматриваемое движущееся тело≫ '.
Доказывая, что область, ограниченная кривой зависи-
мости скорости от времени, представляет собой расстоя-
ние, он вновь утверждал, что поверхность может быть
представлена как совокупность прямых линий. Хотя
Барроу ясно понимал, что, строго говоря, вместо линий
следует брать очень узкие прямоугольники, он все же
утверждал, что ≪вы придете к тому же самому резуль-
тату, независимо от того, какой изберете путь≫2.
Подход Ньютона был более тонким. В отличие от
Барроу он был склонен, следуя Уоллису, отказаться от
представления о числе как о простом собрании единиц.
Ньютон едва не предвосхитил современное понятие пре-
дела своей идеей ≪окончательного отношения≫ ≪исче-
зающих приращений≫. Действительно, это дает основа-
ние полагать, что если бы Ньютон посвятил больше
времени выяснению этой идеи, то он, возможно, пред-
восхитил бы ≪строгие≫ методы, разработанные в
XIX веке Коши3. Тем не менее в работах Ньютона
(равно как и Лейбница) мы не находим ясного предста-
иления о пределе как о числе в полном смысле этого
слова, там он рассматривается как отношение двух чи-
сел. В этом плане Ньютон являлся приверженцем тра-
диционных взглядов, так как, с точки зрения Евклида,
отношения геометрических величин занимают то место,
которое мы в настоящее время отводим так называемым
действительным числам.
Ньютон, по-видимому, считал математику прежде
всего методом решения физических проблем: например,
в предисловии к ≪Математическим началам натуральной
философии≫ он говорит, что геометрия является только
разделом ≪общей механики≫. Не удивительно поэтому,
что его представления о пределе были тесно связаны
с геометрической и временной интуициями, в частности
с последней, поскольку он был склонен рассматривать
время как образец независимой переменной. В своей
знаменитой статье ≪Аналитик≫, опубликованной в
1734 году, философ Беркли подверг критике ньютонов-
ское определение флюксии как окончательного отноше-
ния исчезающих приращений, поскольку ему предста-
влялось, что последние были не конечными числами, не
нулями, а ≪тенями исчезнувших количеств≫. Сам Нью-
тон хорошо понимал эту трудность и стремился обойти
ее с помощью аргументации, которая содержится в
поучении, следующем за леммой XI книги I ≪Начал≫.
В этой аргументации представление о времени играет
центральную роль. ≪Делают возражение, что для исче-
зающих количеств не существует ≪предельного отноше-
ния≫, ибо то отношение, которое они имеют ранее исче-
зания, не есть предельное, после же исчезания нет
никакого отношения. Но при таком и столь же натяну-
том рассуждении окажется, что у тела, достигающего
какого-либо места, где движение прекращается, не мо-
жет быть ≪предельной≫ скорости, ибо та скорость, ко-
торую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого
места, не есть ≪предельная≫, когда же достигло, то нет
скорости. Ответ простой: под ≪предельной≫ скоростью
надо разуметь ту, с которою тело движется не перед
тем, как достигнуть крайнего места, где движение пре-
кращается, и. не после того, а когда достигает, то есть
именно ту скорость, обладая которою тело достигает
крайнего места и при которой движение прекращается.
Подобно этому, под предельным отношением исчезаю-
щих количеств должно быть разумеемо отношение ко-
личеств не перед тем, как они исчезают, и не после того,
но при котором исчезают≫.
В настоящее время математики в противоположность
этой точке зрения в общем согласны с тем, что трудно-
сти, связанные с основаниями математического анализа,
на которые впервые обратил внимание Беркли, не были
решены надлежащим образом вплоть до прошлого сто-
летия, до тех пор пока Коши, Дедекинд, Кантор, Вей-
ерштрасс и другие не придали фундаментальным мате-
матическим понятиям значительно большую строгость,
которой им до этого не хватало. Все эти математики
придерживались формалистической точки зрения на
природу своего предмета. В частности, они отрицали
Ньютоново понимание математического анализа как
научного описания порождения величин. Поэтому вы-
игрыш в строгости, которого они достигли, был связан
с исключением временных понятий. Например, современ-
ное определение, в котором предел бесконечной после-
довательности отождествляется с самой последователь-
ностью, устранило следующую математическую пробле-
му: достигает ли переменная своего предела. В итоге
в конце концов была преодолена интуитивная зависи-
мость понятия предела от понятия движения. Таким
образом, хотя представление о времени и движении
играло в XVII столетии столь важную роль в возникно-
вении нового математического анализа, двухсотлетняя
дискуссия вокруг его оснований привела в конечном
итоге к парадоксальному результату, состоящему в сле-
дующем: ≪Тот же самый аспект, который привел "к воз-
никновению математического анализа, был в известном
смысле опять исключен из математики так называемой
≪статической теорией≫ переменной, которая была раз-
работана Вейерштрассом '. Согласно этой точке зрения,
≪переменная представляет не постепенный переход че-
рез все значения интервала, а дизъюнктивное предполо-
жение, что она имеет любое значение на интервале.
Наше смутное интуитивное представление о движении,
хотя и сыгравшее весьма плодотворную роль в стиму-
лировании исследований, которые привели к созданию
математического анализа, как было обнаружено в ходе
дальнейших размышлений, совершенно не строго и
обманчиво≫.
Таким образом, колесо совершило полный оборот, и
математический анализ в настоящее время характери-
зуется неоплатоническим ≪исключением времени≫.