3. ВРЕМЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В течение XVII столетия геометризация времени при-

вела к замечательным достижениям в математике, обу-

словленным успешным применением кинематических

методов. Так, изобретение логарифмов Непером, сообще-

ние о котором было опубликовано в 1614 году, основы-

валось на сравнении двух движущихся точек, как пока-

зано на рис. 2. Точка P движется вдоль прямой AB,

в то время как другая точка Q движется вдоль беско-

вечной линии, начинающейся в точке С. Обе точки

обладают в начале движения, когда точка P находится

в точке A, a Q —в точке С, одинаковой скоростью.

Однако в то время как Q имеет все время одинаковую

скорость, скорость точки P в любое* мгновение пропор-

циональна расстоянию РВ. Непер определял логарифм

числа измеряемого расстояния РВ как число, которым

измеряется расстояния CQ.

Выдающимся математическим достижением, которое

связано с геометризацией времени, является, конечно,

изобретение Ньютоном исчисления флюксий. Ньютоново

понятие флюксии было основано на молчаливой апелля-

ции к нашему интуитивному представлению о движении.

На Ньютона .оказал сильное влияние, а частично и пред-

восхитил, его учитель и предшественник по лукасовской

кафедре Исаак Барроу. Как Барроу, так и его знамени-

тый современник, но профан в области математики

Томас Гоббс выступали против арифметизации матема-

тики, защищаемой Джоном Уоллисом, савильянским

профессором в Оксфорде. В противовес ему они под-

черкивали фундаментальное значение непрерывной гео-

метрической величины. Тем не менее между их точками

зрения имелось важное различие.

Гоббс, критические замечания которого были стиму-

лированы тем, что Уоллис опроверг его наивные попытки

найти ≪квадратуру круга≫, сильно бранил книгу Уол≪

лиса ≪Арифметика бесконечного≫ (≪Arithmetica Infinitorum

≫) как ≪подлую книгу≫ ' и называл арифметизацию

геометрии Уоллисом в ≪Трактате о конических сечениях≫

(≪Tractatus de Sectionibus Conicis≫) как ≪чесотку сим-

волов≫ 2. Успехи Галилея в обосновании динамики, опи-

равшемся на представление об измерении скорости, про-

извели на Гоббса большое впечатление, и он пытался

сделать понятие скорости основой всей своей филосо-

фии. Гоббс ввел понятие импульса (conatus) как источ-

ника геометрической протяженности. Движение в точке

он рассматривал как движение, которое совершается

внутри минимально возможного неделимого интервала.

Время Гоббс определил как простой ≪фантом≫, или

бледный образ', отражающий в нашем уме свойство

движения быть ≪раньше≫ и ≪позже≫. Гоббс не рассма-

тривал его как меру движения, поскольку ≪мы мерим

время движением, а не движение временем≫2. Хроме

того, с его точки зрения, ≪только настоящее имеет бытие

в природе, прошлые вещи имеют бытие лишь в памяти,

а будущие вещи не имеют никакого бытия. Будущее

есть лишь представление ума, применяющего послед-

ствия прошлых действий к действиям настоящим...≫3

Барроу, хотя и находившийся в оппозиции к ариф-

метическим и алгебраическим тенденциям Уоллиса (а

также некоторых математиков континента) и разделяв-

ший точку зрения Гоббса, согласно которой математику

следовало отождествлять с геометрией, тем не менее

понимал значение времени. В этом отношении его сле-

дует рассматривать как своего рода пионера, ибо для

большинства мыслителей его времени пространство было

куда более важным понятием. Так, даже Декарт, несмо-

тря на то что он понимал полезность алгебры и про-

являл глубокий интерес к проблемам движения, был так

захвачен понятием геометрической протяженности, что

для него время было относительно несущественным. Он

рассматривал протяженность как главный атрибут фи-

зических вещей, а время для него было лишь способом

нашего мышления о них *.

1 С другой стороны, Галилей совершенно игнорировал проблему

соотношения его геометрического представления универсального вре-

мени с индивидуальным или психическим временем. Время в гали-

леевской вселенной в действительности было просто четвертым из-

мерением пространства.

2 Т. Гоббс, Избранные сочинения, Госиздат, М.—Л., 1926,

стр. 68.

Точка зрения Барроу на природу времени предста-

вляет большой интерес не только сама по себе, но еще

и потому, что она оказала влияние на Ньютона. В са-

мом деле, точно так же как философия пространства

Ньютона происходит от кембриджского платоника

Генри Мора, его философия времени восходит к взгля-

дам Барроу, чьи лекции он посещал, будучи студентом.

В своих ≪Лекциях по геометрии≫ Барроу утверждал, что,

≪поскольку математики часто пользуются идеей време-

ни, они должны иметь определенное представление о

значении этого слова, в противном случае они являются

шарлатанами≫ '. Хотя Барроу полагал, что ≪существует

большое родство и аналогия между пространством и

временем≫, он все же их строго разграничивал. Барроу

критиковал Гоббса за то, что ≪он не боялся сравнивать

между собой линии и времена как однородные количе-

ства, образующие взаимную пропорцию, хотя природа

этих вещей далека друг от друга≫2. Барроу находился

,под глубоким впечатлением применения кинематиче-

ского метода в геометрии, который был с величайшим

успехом изучен учеником Галилея —Торичелли, и пола-

гал, что для понимания этого метода необходимо изу-

чить время. Хотя время измеряется движением, Барроу

точно подметил, как и Плотин, критикуя Аристотеля,

что ойо не может являться ни мерой движения, ни само

не может быть измерено движением.

Согласно Барроу, ≪время обозначает не действитель-

ное существование, а определенную способность или

возможность непрерывного существования, точно так же,

как пространство означает способность к наличию дли-

ны. Время не содержит в себе движения, поскольку

рассматривается его абсолютная и внутренне ему при-

сущая природа; точно так же оно не содержит в себе

покоя; двигаются ли вещи или покоятся, спим ли мы

или бодрствуем —время продолжает равномерно течь

своим путем≫3.

Мы видим здесь источник знаменитого определения

Ньютона: ≪Абсолютное, истинное, математическое время

само по себе и по самой своей сущности, без всякого

отношения к чему-либо внешнему протекает равномер-

но≫. Барроу продолжает: ≪Время подразумевает, что

движение поддается измерению; без движения мы не

восприняли бы ход времени. Очевидно, нам следует рас-

сматривать время как текущее равномерно, следова-

тельно, его нужно сравнивать с каким-либо имеющимся

равномерным движением, например движением звезд и,

в частности, Солнца и Луны...≫ Однако Барроу на этом

не останавливается. На вопрос, откуда известно, что

Солнце движется одинаково и что один день или год

в точности равен другому, он отвечал: ≪Если известно,

что солнечные часы находятся в согласии с движениями

какого-либо рода инструментов, измеряющих время, и

устроены таким образом, что их движение происходит

равномерно и представляет собой следование одного за

другим повторений присущего только им движения, при

соответствующих обстоятельствах охватывающего либо

целые периоды, либо пропорциональные их части, тогда

будет правильным сказать', что они регистрируют оди-

наковое движение. По-видимому, строго говоря, следует

сказать, что небесные тела являются первыми к перво-

начальными мерами скорее не времени, а тех движений,

которые мы наблюдаем при помощи чувств и которые ле-

жат в основе наших экспериментов, поскольку мы судим

с их помощью о равномерности небесных движений. Даже

само Солнце не заслуживает того, чтобы быть судьей

времени или рассматриваться как правдивый свидетель,

за исключением того случая, когда инструменты, изме-

ряющие время, подтверждают его правдивость своими

показаниями≫.

Барроу отвечает на вопрос о конечной связи времени

и движения следующим образом: ≪Время может быть

использовано как мера движения, точно так же как про-

странство может быть измерено с помощью какой-

нибудь величины, после чего оно может быть использо-

вано для оценки других величин, соизмеримых с первой,

то есть мы сравниваем одно движение с другим, исполь-

зуя время в качестве посредника≫. Он рассматривает

время как существенно математическое понятие, которое

имеет много аналогий с линией, ≪поскольку время обла-

дает только длиной, подобно ей во всех своих частях и

может рассматриваться как составленное путем простого

сложения последующих мгновений или как непрерывное

течение одного мгновения либо как прямая, либо как

окружность≫. Это ясное утверждение является, по-види-

мому, самой ранней четкой формулировкой понятия

геометрического времени, ибо Евклид говорил только об

отрезках прямой линии, а не о полной прямой линии

в нашем понимании, а Галилей для обозначения опреде-

ленных временных интервалов пользовался только та-

кими отрезками. Тем не менее, как уже отмечалось,

Барроу не отождествлял время с линией. Время, с его

точки зрения, было ≪длительностью чего-либо в своем

собственном бытии≫, а в отрывке, к которому мы еще

вернемся в главе IV, он отмечал: ≪И я тоже не верю,

чтобы кто-нибудь не допускал, что те вещи существуют

одинаковое время, которые возникли и погибли вме-

сте≫ '.

Обсуждая вопрос об аналогии между временем и

линией, Барроу указывает, что последняя может рас-

сматриваться либо как составленная из точек, либо как

след движущейся точки. Аналогично, утверждает он,

время может мыслиться либо как совокупность мгнове-

ний, либо как непрерывное течение одного мгновения.

С математической точки зрения его кинематический ме-

тод был чрезвычайно плодотворным. Если бы Барроу

не был решительным приверженцем синтетического

стиля древних геометров и не отрицал сознательно

алгебраические методы, то он, возможно, предвосхитил

бы Ньютона в открытии дифференциального исчисле-

ния, этого мощного средства математического анализа.

Как Барроу, так и Ньютон столкнулись лицом к лицу

с весьма тонкими проблемами континуума и природы

мгновенной скорости.

Взглядам Барроу на эти вопросы очень недостает

строгости. ≪Каждому мгновению времени, или неогра≪

ниченно малой частице времени (я говорю ≪мгновение≫,

или ≪неограниченно малая частица≫, ибо безразлично,

предполагаем ли мы, что линия состоит из точек или же

из неограниченно малых отрезков; и точно так же не

важно, предполагаем ли мы, что время состоит из мгно-

вений, или из неограниченно малых временных интерва-

лов), я повторяю: каждому мгновению времени соответ-

ствует известная степень скорости, которой обладает

в это мгновение рассматриваемое движущееся тело≫ '.

Доказывая, что область, ограниченная кривой зависи-

мости скорости от времени, представляет собой расстоя-

ние, он вновь утверждал, что поверхность может быть

представлена как совокупность прямых линий. Хотя

Барроу ясно понимал, что, строго говоря, вместо линий

следует брать очень узкие прямоугольники, он все же

утверждал, что ≪вы придете к тому же самому резуль-

тату, независимо от того, какой изберете путь≫2.

Подход Ньютона был более тонким. В отличие от

Барроу он был склонен, следуя Уоллису, отказаться от

представления о числе как о простом собрании единиц.

Ньютон едва не предвосхитил современное понятие пре-

дела своей идеей ≪окончательного отношения≫ ≪исче-

зающих приращений≫. Действительно, это дает основа-

ние полагать, что если бы Ньютон посвятил больше

времени выяснению этой идеи, то он, возможно, пред-

восхитил бы ≪строгие≫ методы, разработанные в

XIX веке Коши3. Тем не менее в работах Ньютона

(равно как и Лейбница) мы не находим ясного предста-

иления о пределе как о числе в полном смысле этого

слова, там он рассматривается как отношение двух чи-

сел. В этом плане Ньютон являлся приверженцем тра-

диционных взглядов, так как, с точки зрения Евклида,

отношения геометрических величин занимают то место,

которое мы в настоящее время отводим так называемым

действительным числам.

Ньютон, по-видимому, считал математику прежде

всего методом решения физических проблем: например,

в предисловии к ≪Математическим началам натуральной

философии≫ он говорит, что геометрия является только

разделом ≪общей механики≫. Не удивительно поэтому,

что его представления о пределе были тесно связаны

с геометрической и временной интуициями, в частности

с последней, поскольку он был склонен рассматривать

время как образец независимой переменной. В своей

знаменитой статье ≪Аналитик≫, опубликованной в

1734 году, философ Беркли подверг критике ньютонов-

ское определение флюксии как окончательного отноше-

ния исчезающих приращений, поскольку ему предста-

влялось, что последние были не конечными числами, не

нулями, а ≪тенями исчезнувших количеств≫. Сам Нью-

тон хорошо понимал эту трудность и стремился обойти

ее с помощью аргументации, которая содержится в

поучении, следующем за леммой XI книги I ≪Начал≫.

В этой аргументации представление о времени играет

центральную роль. ≪Делают возражение, что для исче-

зающих количеств не существует ≪предельного отноше-

ния≫, ибо то отношение, которое они имеют ранее исче-

зания, не есть предельное, после же исчезания нет

никакого отношения. Но при таком и столь же натяну-

том рассуждении окажется, что у тела, достигающего

какого-либо места, где движение прекращается, не мо-

жет быть ≪предельной≫ скорости, ибо та скорость, ко-

торую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого

места, не есть ≪предельная≫, когда же достигло, то нет

скорости. Ответ простой: под ≪предельной≫ скоростью

надо разуметь ту, с которою тело движется не перед

тем, как достигнуть крайнего места, где движение пре-

кращается, и. не после того, а когда достигает, то есть

именно ту скорость, обладая которою тело достигает

крайнего места и при которой движение прекращается.

Подобно этому, под предельным отношением исчезаю-

щих количеств должно быть разумеемо отношение ко-

личеств не перед тем, как они исчезают, и не после того,

но при котором исчезают≫.

В настоящее время математики в противоположность

этой точке зрения в общем согласны с тем, что трудно-

сти, связанные с основаниями математического анализа,

на которые впервые обратил внимание Беркли, не были

решены надлежащим образом вплоть до прошлого сто-

летия, до тех пор пока Коши, Дедекинд, Кантор, Вей-

ерштрасс и другие не придали фундаментальным мате-

матическим понятиям значительно большую строгость,

которой им до этого не хватало. Все эти математики

придерживались формалистической точки зрения на

природу своего предмета. В частности, они отрицали

Ньютоново понимание математического анализа как

научного описания порождения величин. Поэтому вы-

игрыш в строгости, которого они достигли, был связан

с исключением временных понятий. Например, современ-

ное определение, в котором предел бесконечной после-

довательности отождествляется с самой последователь-

ностью, устранило следующую математическую пробле-

му: достигает ли переменная своего предела. В итоге

в конце концов была преодолена интуитивная зависи-

мость понятия предела от понятия движения. Таким

образом, хотя представление о времени и движении

играло в XVII столетии столь важную роль в возникно-

вении нового математического анализа, двухсотлетняя

дискуссия вокруг его оснований привела в конечном

итоге к парадоксальному результату, состоящему в сле-

дующем: ≪Тот же самый аспект, который привел "к воз-

никновению математического анализа, был в известном

смысле опять исключен из математики так называемой

≪статической теорией≫ переменной, которая была раз-

работана Вейерштрассом '. Согласно этой точке зрения,

≪переменная представляет не постепенный переход че-

рез все значения интервала, а дизъюнктивное предполо-

жение, что она имеет любое значение на интервале.

Наше смутное интуитивное представление о движении,

хотя и сыгравшее весьма плодотворную роль в стиму-

лировании исследований, которые привели к созданию

математического анализа, как было обнаружено в ходе

дальнейших размышлений, совершенно не строго и

обманчиво≫.

Таким образом, колесо совершило полный оборот, и

математический анализ в настоящее время характери-

зуется неоплатоническим ≪исключением времени≫.