• 5

2. ВРЕМЯ, ГЕОМЕТРИЯ И ПЕРЕМЕННАЯ

Как подчеркивалось Кантом и Брауэром, интуицио-

нистская точка зрения связана с идеей времени и с

1 H. H e i m h o l t ; , Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. II, S. 643.

166

идеей математической ≪конструкции≫. Действительно,

связь идей математического построения и времени при-

вела Брауэра даже к отрицанию логического принципа

≪исключенного третьего≫, по крайней мере применитель-

но к идее математического существования. Для Брауэра

существование математических сущностей и возможность

их построения являются синонимами, и эта частная тео-

рема ≪не истинна и не ложна до тех пор, пока у нас

нет конструктивного метода для решения этого вопроса.

С другой стороны, формалистические и логистические

философские направления в математике основаны на

вере в безвременной характер математического суще-

ствования≫. Эта математическая идея может рассматри-

ваться как конечный результат развития той линии мы-

шления, которая началась с Платона.

Платоновская философия формы была основана на

критическом анализе пифагорейской философии числа.

Согласно Пифагору и его школе, сущность вещей следует

усматривать в числе. Однако числа представляются гео-

метрически в виде ≪точек≫ или единиц, имеющих опреде-

ленное положение. Кроме того, многие более мощные

математические средства, которые используются для по-

лучения численных результатов, являются геометриче-

скими по своему характеру. Чисто арифметическая тех-

ника счета была не только менее мощной, то есть менее

общей, чем геометрический метод, в силу полного отсут-

ствия в ней чего-либо соответствующего современной

алгебраической символике, но и приводила к известным

трудностям. Например, несоизмеримость диагонали квад-

рата единичной площади. Эти трудности можно было бы

преодолеть с помощью кинематического метода или ме-

тода флюксий, метода движущихся точек и линий, со-

гласно которому точка размывается в линию и т. д., од-

нако Платон находился под слишком сильным влияни-

ем аргументов Парменида и Зенона (см. параграфы 4

и 5 настоящей главы), что помешало ему принять этот

метод. Напротив, он очистил пифагорейскую математику

от ее ≪арифметического≫ содержания. Последнее связы-

валось с временем, процессом и порождением, так как

в более строгом смысле пифагорейцы считали, что чис-

ла порождаются непрерывным прибавлением ≪одного,

или арифметической единицы≫. (Их'теория единицы и

диад весьма похожа на теорию Брауэра.) Поэтому, хо-

тя Платон и рассматривал время как существенную

черту чувственно воспринимаемого мира, он строго ис-

ключал его из чистой геометрии как науки, которую он

ассоциировал с и только с вечным миром идеальных

форм. В результате он был решительно против матема-

тического ≪построения≫. В известном отрывке своего со-

чинения ≪Государство≫ он выражает недовольство ма-

тематиками, которые постоянно ≪говорят очень смешно

и подчиняются необходимости; ибо как будто делая

что-нибудь и для дела повторяя все свои термины, по-

строим, говорят, четырехугольник, проведем или про-

ложим линию, и издают все подобные звуки, между тем

как целая эта наука назначается для знания... назнача-

ется всегда она для знания существенного, а не для то-

го, что бывает и погибает≫ '.

Совершенно ясно, что возражения Платона против

математических ≪построений≫ обусловлены его не-

приязнью к введению временных соображений в чистую

геометрию, чем объясняются также его весьма странные

настоятельные утверждения о недопустимости так назы-

ваемых ≪механических решений≫ известных проблем

квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба. Ча-

сто утверждают, что его возражения были направлены

против практического использования реальных механи-

ческих инструментов, однако этот аргумент в том ви-

де, как его обычно выдвигают, теряет смысл, так как,

например, КэДжори показал, что Платон отрицал искус-

ные решения Архита, Евдокса и Менехма, потому что

≪они требуют применения и других инструментов, кроме

линейки и циркуля≫2. Разве возражения против исполь-

зования механических инструментов не нужно распро-

странить на все без исключения? Решающее значение

для Платона, как это мне представляется, имело следую-

щее различие: если деление угла пополам связано с неко-

торым расположением прямых линий и дуг окружности,

которое может считаться статическим, то есть безотно-

сительно ко времени, то трисекция угла в том виде, как

она была выполнена Гиппием, представляла собой по-

строение, содержащее движущуюся конфигурацию ли-

ний и, следовательно, зависела от рассмотрения вре-

мени.

В решении Гиппия кривая, известная под названием

≪квадратриса≫, которой также пользовались при попыт-

ках вычислить квадратуру круга, строилась следующим

образом. Сторона AB квадрата ABCD равномерно пово-

рачивается вокруг точки внутри прямого угла А к сто-

роне AD. В это же время смежная сторона ВС равно-

мерно скользит между AB и CD так, что достигает-сто-

роны AD в тот же самый момент времени, что и AB.

Кривая ВЕР —квадратриса,

порождаемая точкой их пере-

сечения, обладает следующим

свойством: длина перпендику-

ляра, опущенного из любой ее

точки на прямую AD, пропор-

циональна углу между AD и

прямой, соединяющей точку А

, с данной точкой. (Это можно

наглядно видеть при движении

кулисного механизма.) Для

того чтобы разделить на три

части угол EAD, достаточно

разделить на три части линию

EG и затем провести из точек деления прямые, парал-

лельные AD, так, чтобы они пересекли квадратрису в

точках H и К. Линии АН и АК делят угол на три рав-

ные части (рис. 1).

Существенными особенностями этого построения яв-

ляются равномерность движения и совпадение момен-

тов начала и завершения движения. В том виде, в каком

его изложил автор, оно представляет собой явно кине-

матическое построение. Хотя Платон считал, что эта

геометрия движения, или порождающая геометрия, не-

применима в мире идеальных фигур, греческие матема-

тики, особенно Архимед в своей книге ≪О спиралях≫,

исследовали чисто геометрические свойства кривых,

определенных кинематически. Более того, кинематиче-

ская геометрия применялась учеником Платона Евдок-

сом для анализа движения планет, где он, по всей ве-

роятности, опирался на элементарные попытки пифаго-

рейцев, которые были пионерами в этом деле. Это соеди-

нение геометрии движения с астрономией представляло

собой одно из наиболее оригинальных и перспективных

достижений древнегреческой мысли. Две другие антич-

ные цивилизации, которые осуществили наиболее глубо-

кие исследования в области математической астрономии

(Вавилонская, времени Селевкидов и майя Центральной

Америки), разработали только арифметическую мето-

дику.

Аристотель, несмотря на свой глубокий интерес к

проблемам движения и изменения, настаивал на стро-

гом разделении математики и физики. Тем не менее в

седьмой книге ≪Физики≫ содержатся пространные рас-

суждения о равномерном движении, где время рассмат-

ривается так, как если бы оно являлось геометрической

величиной, аналогичной пространству, и так же, как и

последнее, было бесконечно делимо. Действительно, в

этой главе имеется много проявлений его геометриче-

ской точки зрения (в частности, Аристотель обозначает

интервал времени так же (например, ZH), как греческие

геометры обозначали отрезок прямой), хотя его рассу-

ждения гораздо менее строги, чем математические дока-

зательства в трудах Архимеда.

Недавно Маршалл Клэджет' обратил внимание на

то, что греческие геометры, изучавшие движение, были

склонны давать скорее сравнительные, чем метрические

определения, сравнивая либо расстояния, проходимые

при двух равномерных движениях за одни и те же (по

предположению) времена, либо времена, за которые

проходились одинаковые (по предположению) расстоя-

ния. Эти сравнения являлись истинными пропорциями

в евклидовом смысле, поскольку они проводились между

величинами, имеющими одну и ту же природу. Следова-

тельно, вряд ли кто из греческих авторов пришел к по-

ниманию скорости как числа или величины, выражаю-

щей отношение двух различных величин: расстояния и

времени.

Самым старым из известных нам кинематических

трактатов Латинского Запада является ≪Книга о движе-

нии≫ (Liber de Motu) Жерара Брюссельского, малоиз-

вестного геометра первой половины XIII века. В этой

любопытной работе, хотя в ней и не определяется ско-

рость как отношение различных величин, он предпола-

гает, что быстроту движения можно определить некото-

рым числом или количеством, которые не являются ни

расстоянием, ни временем'. Этот трактат, написанный

в то время, когда достижения греческой геометрии толь-

ко стали получать широкую известность на Латинском

Западе, изобиловал элементарными математическими

ошибками. Тем не менее в следующем столетии он ока-

зал большое влияние на философскую школу Мертон-

ского колледжа в Оксфорде, возбудив у нее интерес к

изучению кинематики неравномерного или ускоренного

движения. Современное понятие ускорения, которое мы

теперь считаем необходимым для формулировки дина-

мики, грекам никогда даже в голову не приходило, не

говоря уже о его обсуждении или анализе2.

Схоласты XIV-столетия, искавшие это понятие, ко-

торое до разработки дифференциального исчисления

было очень трудно сформулировать, находились в ис-

ключительно затруднительном положении из-за отсут-

ствия алгебраической символики. Их рассуждения были

чисто словесными и утомительно пространными, тем не

менее они привели к одному из величайших достижений

в познании, которое когда-либо было сделано.

Для того чтобы правильно сформулировать кинема-

тическое понятие ускорения, необходимы были два дру-

гих представления: 1) представление о времени как о

независимой переменной и представление о пространстве

как о зависимой переменной; 2) представление о мгно-

венной скорости.

Общее математическое понятие переменной было по-

степенно сформулировано поздними схоластами после

великого осуждения философии Аристотеля в 1277 году

Темпье, епископом Парижским, и Килуордби, архиепи-

скопом Кентерберийским. Мы уже видели, что Аристо-

тель строго разграничивал математику и физику, счи-

тая, что первая занимается ≪вещами, которые не вклю-

чают в себя движения≫, а вторая —вещами, которые

его в себя включают. Кроме того, поскольку в земных

2 Первая явная трактовка ускорения в смысле движения, кото-

рое становится все быстрее и быстрее, была, по-видимому, дана

Стратоном из Лампсака, ставшего во главе Ликея в 287 году до

н. э. Однако его трактовка не была удовлетворительной, поскольку

он не имел четкого представления о мгновенной скорости.

движениях в отличие от небесных не проявляется общей

равномерности, физическое движение рассматривалось

не как ≪количество≫, а скорее как ≪качество≫, которое не

возрастает и не уменьшается при сложении1. Иоанн

Дуне Скот, который умер в 1308 году, одним из первых

порвал с этой традицией и занялся рассмотрением об-

щей проблемы изменчивости качеств, или ≪широты

форм≫, как ее называли. Эта проблема возникла из не-

обходимости объяснить наблюдаемый факт изменения

интенсивности качеств вопреки аксиоматическому прин-

ципу Аристотеля о неизменности субстанциальных форм.

Например, если мы увеличиваем или уменьшаем интен-

сивность луча света, то его яркость становится большей

или меньшей, тогда как его природа остается прежней,

к ней ничего не добавляется и из нее ничего не вычи-

тается, поскольку это свет сам по себе. Следовательно,

интенсивность есть форма, или внутреннее свойство, све-

та. Термин широта (latitudo), обозначавший область, в

которой может изменяться интенсивность качества, был,

по-видимому, введен несколько более ранним филосо-

фом Анри Гентским, который умер в 1293 году.

В 1227 году он был одним из советников епископа Тем-

пье. Согласно Анри Гентскому, ≪интенсивность≫ (intensio)

качества состоит в приближении к определенной

границе, на которой качество достигает своего полного

совершенства2. Иоанн Дуне Скот и его последователи

считали, что возрастание интенсивности происходит пу-

тем сложения, соответствующей аналогией которого бу-

дет не сложение камня с камнем, а воды с водой; но-

вое индивидуальное качество, образуемое путем такого

сложения, содержит в себе предыдущее3. Уильям Ок-

кам (умер в 1349 году) и номиналисты в рассмотрении

интенсивности как аддитивного возрастания вообще сле-

довали Иоанну Дунсу Скоту, и внимание сосредоточи*

лось на следующей логической проблеме: как назвать

предмет, в котором интенсивность качества меняется от

одной точки к другой. В математике эта проблема ока-

залась частным случаем другой, а именно проблемы опи-

сания различных возможных видов пространственного

или временного изменения интенсивности. Термин ≪ши-

рота≫ стал относиться к конфигурации или частному

виду изменения интенсивности в пространстве или вре-

мени.

Первым среди математиков в отличие от ≪диалекти-

ков≫ идею переменной начал развивать Томас Брадвар-

дин, чейТрактат о пропорциях (Tractatus de Propertionibus

) был написан в 1328 году. Один современный

автор обратил внимание на тот факт, что работа Брад-

вардина представляет собой основу современной физики,

опирающейся на обручение Галилеем математики и эк-

спериментального наблюдения. ≪Брадвардин использо-

вал математику для систематизации и общего выраже-

ния теории, Галилей использовал ее для систематиче-

ского обобщения экспериментальных наблюдений≫ '. Ра-

бота Брадвардина заслуживает внимания потому, что

он ввел в математику более сложные функции, чем про-

стая линейная пропорциональность.

Среди других ведущих фигур Мертонской математи-

ческой школы первой половины XIV столетия следует

отметить Уильяма Гейтсбери, который определял уско-

рение как скорость скорости, Джона Дамблтонского и

Ричарда Свайнсхеда, получившего прозвище Вычисли-

теля за свой главный труд, который, однако, был посвя-

щен не вычислениям в том смысле, в каком мы пони-

маем этот термин, а словесной и арифметической тео-

рии равномерных и неравномерных скоростей измене-

ния. Точно так же следует упомянуть, что терминам

fluxus и fluens, которые он употреблял в этом контек-

сте, было суждено быть использованными триста лет

спустя Ньютоном, говорившим о переменной как о флю-

энте, а о степени ее изменения как о флюксии.

Несмотря на успехи мертонианцев, главное матема-

тическое достижение в изучении переменной в XIV сто-

летии было сделано во Франции Николаем Оресмом,

который родился примерно в 1323 году, а умер в

1382 году, будучи епископом в Лизьё. Один из величай-

ших математиков позднего средневековья, он был вы-

дающимся ученым также в области натуральной фило-

софии и политэкономии и, несомненно, является одним

из наиболее разносторонних умов своего времени. По-

видимому, он, первый систематически пользовался дроб-

ными показателями степени. Его трактат ≪О конфигура-

ции качества (De Configuratione Qualitatum), напи-

санный, видимо, до 1361 года, заслуживает особого вни-

мания потому, что, следуя греческой традиции, которая

рассматривала числа как дискретные, а геометрические

величины как непрерывные, автор его отказался от диа-

лектического рассмотрения мертонианцами изменения на

языке чисел, а вместо этого связал непрерывное изме-

нение с геометрическим чертежом. Горизонтальная ли-

ния (longitude) представляла на чертеже протяженность

в пространстве или во времени данной формы, свойства

или ≪качества≫ которой, например цвет, плотность и

т. д., следовало определить. Эта линия была разделена

на равные отрезки, называвшиеся градусами. Интенсив-

ность, или скорость изменения, с которой форма приоб-

ретает качество, была представлена вертикальной ли-

нией (latitude), имевшей ту же равномерную шкалу, что

и соответствующая longitude. Когда были начерчены все

широты, то линия, проведенная через их вершины, обра-

зовывала геометрическую фигуру', которую Николай

Оресм называл линейной конфигурацией рассматривае-

мого качества 2.

Труды Николая Оресма также примечательны тем,

что они содержат значительные достижения в раз-

витии представления о мгновенной скорости. Он, по-ви-

димому, первый предложил выражать мгновенную ско-

рость изменения прямой линией (sed punctualis velocitas

instantanea est imaginanda per lineam rectam≫ — ≪однако точечная скорость постепенна и представляется

только прямой линией≫) 3. Идея мгновенной скорости

решительно отвергалась Аристотелем, и ее удовлетво-

рительное определение было вообще невозможно до

1 Хотя Оресм, по-видимому, был первым, кто систематически

применил графические методы для представления идеи функциональ-

ного измерения и этим самым сыграл решающую роль в геометри-

зации времени, все-таки он не является автором идеи построения

графиков. Наиболее старые из известных нам графиков относятся

примерно к X столетию. 2 D a n а В. D u r a n d , Speculum, 16, 1941, 174.

разработки современной теории пределов. Различие ме-

жду скоростью как простой величиной, полученной деле-

нием расстояния на время (v = s/t), и как ≪мгновен-

ного≫ качества движения (v = ds/dt) в современном

представлении было проведено Брадвардином при рас-

смотрении динамического движения :.

Значение интуитивного представления о мгновенной

скорости в дальнейшем повысилось в результате воз-

рождения во Франции физической идеи ≪движущей

силы≫; она состояла в следующем: тело, однажды при-

веденное в движение, будет продолжать свое движение

в силу внутренней тенденции, которой оно в этом случае

обладает. Эта антиаристотелевская теория, которую

можно рассматривать как смутное предвосхищение

ньютоновского принципа инерции, восходит еще к

Иоанну Филопону (VI век н. э.). Она была возрождена

Питером Джоном Олив-и, который умер в 1298 году, и

особенно Жаном Буриданом, ректором Парижского

университета, умершим примерно в 1358 году.

Несмотря на свои откровенные утверждения о том,

что мгновенную скорость следует представлять в виде

прямой линии, Николай Оресм следовал Аристотелю,

говоря, что каждая скорость продолжает существовать

во времени (omnis velocitas tempore dura-t≫— ≪всякая скорость длится какое-то время≫) 2. Пытаясь вы-

яснить понятие мгновенной скорости, Николай Оресм

утверждал, что чем больше эта скорость, тем боль-

шее расстояние будет покрыто, если движение будет

продолжаться равномерно с этой же скоростью.

Мертонский математик Уильям Гейтсбери говорил то же

самое3. Хотя и мертонианская школа, и Николай

Оресм имели правильное математическое понятие об

ускорении, причем- время считалось независимой пе-

ременной, в решении этой проблемы вплоть до Галилея

продолжала существовать большая путаница. Историче-

ски эта путаница восходит к двум определениям поня-

тия ≪более быстрый≫, сформулированных Аристотелем:

1) то, что проходит такое же расстояние за меньшее

время, 2) то, что проходит большее расстояние за то же

время. Последнее исторически вело к ошибочному вы-

воду, согласно которому в естественно ускоряемом дви-

жении падения тел скорость возрастает равномерно

с расстоянием. Этот вывод так или иначе поддерживали

Стратон, Александр Афродизийский, Симплиций, Аль-

берт Саксонский и даже Галилей, до того как он при-

шел к правильной формулировке'.

Современные исследования показали, что в области

математической кинематики Галилей гораздо ближе

стоял к своим предшественникам XIV столетия, чем

обычно полагают. Мах был совершенно неправ,.-когда

утверждал, что Галилей, по существу, создал новое по-

нятие ускорения 2. Его понятие математического ускоре-

ния было предвосхищено мертонианцами и Николаем

Оресмом, а правильное применение им этого понятия

при формулировании закона падения тел до некоторой

степени было предвосхищено Доминико Сото, испанским

доминиканцем, который умер в 1560 году. После пра-

вильного определения равномерного ускорения Сото

говорил, что это есть вид движения, свойственный сво-

бодно падающим телам и снарядам. Таким образом,

хотя Галилей пошел гораздо дальше своих предшествен-

ников в полной формулировке кинематики и в примене-

нии ее к изучению движений, происходящих в природе,

он был не так уж оригинален, как это обычно полагают.

В частности, не он первый использовал геометрическое

понятие времени.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я