• 5

I. ВРЕМЯ И ЧИСЛО

Абстрактное математическое представление о време-

ни как о геометрическом месте точек —так называемое

≪сведение времени к пространству≫, представляет собой

одно из наиболее фундаментальных понятий современ-

ной науки. Его психологической основой является наша

интуитивная концепция одномерного времени. Инстинк-

тивное признание нами этого свойства линейности, воз-

можно, обусловлено упомянутым 'выше фактом, состоя-

щим в том, что, строго говоря, мы можем сознательно

следить во времени только за одной вещью и что мы не

в состоянии делать это достаточно долго, не отвлекая

своего внимания. Наше представление о времени непо-

средственно связано, таким образом, с нашей ≪цепью

мыслей≫, то есть с тем фактом, что процесс мышления

имеет форму линейной последовательности. Однако эта

линейная последовательность состоит из дискретных ак-

тов внимания. Поэтому первоначально время более есте-

ственным образом связывается со счетом, а следова-

тельно, с числом, чем с линейным континуумом геомет-

рии. Мы уже подчеркивали большое значение ритма в

развитии представления о времени. Поскольку процесс

счета является наиболее простым из всех ритмов (он

представляет собой ряд единиц, каждая из которых рас-

сматривается как в точности подобная предыдущей и

которые можно совершенно свободно сочетать в группы),

мы можем приписать способность формировать числа

элементарному ритму внимания. И, конечно, не случай-

но, что слова ≪число≫ и ≪ритм≫ в древнегреческом язы-

ке —äpiöfiöi; и робцо? —образованы от общего корня

petv —течь,

На особенно тесную связь между временем и процес-

сом счета! указывали как философы, изучавшие про-

блему времени, так и философы, специализировавшиеся

в области основ математики. Например, Аристотель, ста-

раясь установить различие между≫ временем и движе-

нием, подошел весьма близко к сведению времени к чи≪

слу. С другой стороны, Л. Брауэр при разработке в

первом двадцатилетии нашего века своей известной

≪интуиционистской≫ теории математики основывал свое

построение натуральных чисел на концептуальной' мно-

жественности интервалов времени, которое он рассмат-

ривал как первичную интуицию человеческого ума. До-

ктрина Брауэра восходит к философии Канта, который

утверждал, что ≪арифметика производит свои числовые

понятия через последовательное прибавление единиц во

времени≫2. Хотя Кант и не рассматривал арифметику

как науку о времени, подобно геометрии, которую он

считал наукой о пространстве, поскольку арифметиче-

ские отношения не зависят от времени, он все же пола-

гал, что как пространство, так и время представляют

собой всеобщие формы нашей интуиции или нашей

способности постижения явлений и, следовательно,

1 Недавние эксперименты, посвященные доязыковой способности

птиц ≪считать≫, обнаружили, что эта связь на самом деле имеет

глубокие корни. Так, имеется доказательство, что способность птиц

≪считать про себя≫, которая, как было показано О. Кёлером (Bull.

Animal Behaviour, 9, March, 1951, 415), является скрытой

способностью птиц, основана на памяти о ряде предыдущих дей-

ствий, совершенных последовательно во времени. Галка, приученная

открывать подряд одну за другой крышки кормушек, в которых она

получала пять порций пищи, находила одну порцию в первой кор-

мушке, две во второй и одну в третьей. Затем она шла обратно

в свою клетку, однако позднее возвращалась к кормушкам, загля-

дывала один раз в первую, дважды во вторую и один раз в третью.

После этого она открывала четвертую кормушку и, не найдя в ней

ничего, переходила к пятой и извлекала из нее единственную пор-

цию. Остальные кормушки она оставляла нетронутыми. Стремление

≪нагнуться≫ сначала над первыми тремя кормушками указывает,

по-видимому, что птица ≪считала≫, вспоминая свои прежние дей-

ствия.

Что касается людей, то известный математик и молниеносный

вычислитель профессор А. Айткен свидетельствует, что когда он

производит в уме арифметические действия, то он почти ничего на-

глядно не представляет, однако ≪ритмико-слуховой импульс в это

время весьма силен (А. С. A i t k e n, The Listener, 62, 19th November,

1959, p. 885).

являются априорными, или врожденными, свойствами че-

ловеческого разума. Поэтому какое-либо изменение на-

ших представлений о пространстве и времени является,

по его мнению, не только ненужным, но и ≪немысли-

мым≫. Хорошо известно, что, с точки зрения Канта, про-

странство, по существу, является единственным и евк-

лидовым, даже если оно присуще не самой природе, а

скорее только нашим представлениям о ней. Аналогич-

но время тоже должно быть единственным, хотя Кант — философ, известный туманностью своей терминологии, — видимо, явно не высказался по данному вопросу.

Весьма оригинальная теория пространства и време-

ни Канта произвела глубокое впечатление на одного из

величайших математиков первой половины XIX столе-

тия Уильяма Роуана Гамильтона, который спустя при-

мерно тридцать лет после смерти Канта прочел доклад

перед Королевской ирландской академией, где утвер-

ждал, что, поскольку существует геометрия —чистая ма-

тематическая наука о пространстве, должна существо-

вать также и чистая математическая наука о времени,

и что такой наукой должна быть алгебра '. Неудовлет-

воренный формалистическим подходом Пикока, который

рассматривал алгебру как ≪систему знаков и их комби-

наций≫, Гамильтон требовал более ≪реального≫ ее обо-

снования. Он искал это обоснование в нашем интуитив-

ном понимании времени, но цель его заключалась скорее

в том, чтобы вывести алгебру из этого интуитивного по-

нимания, чем в том, чтобы использовать алгебру для

разъяснения последнего. Он исходил из трех фундамен-

тальных принципов: (1) понятие времени связано с су-

ществующей алгеброй; (2) понятие о времени или инту-

итивное понимание времени может быть развито в не-

зависимую чистую науку; (3) наука о чистом времени,

разработанная таким образом, совпадает и тождествен-

на с алгеброй, коль скоро последняя является наукой.

Однако если алгебра должна основываться на времени,

которое Гамильтон рассматривал как одномерный кон-

тинуум точечных мгновений, то, когда мы переходим к

рассмотрению корней уравнений второй степени, воз-

никает трудность истолкования мнимых корней квадрат-

ного уравнения. Научная статья Гамильтона в основном

1 W. R. H a m i l t o n , Trans. Roy. Irish. Acad., 1833835.

посвящена его попытке преодолеть эту трудность с по-

мощью предложенной им теории пар-моментов (А\, AZ)

где Л] есть первичный момент, а А2 —вторичный, неза-

висимо от того, следует ли Л2 за первичным моментом,

предшествует ему или совпадает с ним. Исходя из этой

концепции, он разработал алгебраическую теорию пар

чисел, которая привела к алгебраической (отличной от

геометрической) концепции комплексных чисел, содер-

жащих квадратный корень из минус единицы. В конце

своей второй статьи, посвященной этой теме, он ссы-

лается на статьи Грейвза о логарифмах комплексных чи-

сел и в заключение дает следующее красноречивое обо-

снование своей точки зрения. ≪Однако, поскольку

г-н Грейвз в своих рассуждениях использовал обычные

принципы, касающиеся комплексных величин, и удовлет-

ворился доказательством символической необходимости,

не приводя никакого истолкования и не раскрывая вну-

тренней сущности своих формул, данная теория пар

публикуется с целью выявить их скрытое значение и по-

' казать этим замечательным примером, что выражения,

которые представляются, согласно обычным воззрениям,

только символическими и совершенно неистолковывае-

мыми, могут войти в мир мышления и обрести реаль-

ность и значение, если алгебра будет рассматриваться

не только как простое искусство или язык, но и как

Наука о Чистом Времени≫.

Хотя квадратный корень из минус единицы не яв-

лялся числом в традиционном смысле, он подчинялся

всем формальным алгебраическим правилам для клас-

сических чисел и был поэтому скорее новой арифмети-

ческой сущностью, чем элементом новой алгебры. Алге-

браические исследования Гамильтона достигли, однако,

своего кульминационного пункта восемь или девять лет

спустя, когда он сделал известное открытие квартернио-

нов, первого примера некоммутативной алгебры. Таким

образом, окончательным итогом его хода рассуждений

было следующее открытие: алгебра не единственна. Эту

точку зрения было весьма трудно примирить с кантов-

ской концепцией относительно природы алгебры, которая

разделялась им самим, что и явилось весьма мощным

аргументом в пользу формалистической философии ма-

тематики, против которой он был столь решительно на-

строен. Что касается, в частности, точки зрения Гамиль-

тона на связь алгебры с понятием времени, то оконча-

тельный приговор ее был вынесен пятьдесят

лет спустя крупным алгебраистом Кэли в его прези-

дентском адресе к Британской Ассоциации в 1883 году.

Отметив, что Гамильтон употреблял термин ≪алгебра≫

в весьма широком смысле, так что в нее включалось и

дифференциальное исчисление, он заявил, что не может

признать связи алгебры с понятием времени. ≪Я пошел

бы дальше, —сказал он, —понятие непрерывного изме-

нения является очень фундаментальным понятием, оно

составляет основу исчисления флюксий (если не-всегда,

то в дифференциальном исчислении), оно имеется или

подразумевается в чистой математике, и можно сказать,

что изменения любого рода происходят только во вре-

мени; однако мне кажется, что изменения, которые мы

изучаем в математике, в большинстве случаев рассмат-

риваются совершенно независимо от времени. Мне пред-

ставляется, что в математике нет понятия времени, пока

мы не привносим его туда≫.

В том же году в своей фундаментальной работе о

смысле математического континуума Георг Кантор ут-

верждал, что мы не можем приступить к определению

этого понятия, ссылаясь только на представление о вре-

мени или только на представление о пространстве, так

как сами эти представления могут быть ясно объяснены

только с помощью понятия континуума, которое должно

быть простым и не должно от них зависеть'. Поэтому

философ-неокантианец Эрнст Кассирер переистолковал

кантовскую теорию арифметики как изучение ≪рядов≫,

находящих конкретное выражение во временной последо-

вательности. Он утверждал, что сам Кант сначала искал

≪трансцендентальное≫ определение времени как прототип

упорядоченной последовательности и считал, что основа-

нием логических понятий последовательности и порядка, из

которых можно вывести законы арифметики, является не

наше интуитивное понятие о времени, а, напротив, наше

представление о времени неявно зависит от этих понятий.

Эта точка зрения была отвергнута Брауэром, который

вслед за Кронекером критиковал Кантора и возвратился

к первоначальной точке зрения Канта на время, хотя и

отрицал теорию пространства последнего. К концу XIX

столетия философы и математики резко разошлись во

мнениях по отношению к открытию (примерно через

двадцать лет после смерти Канта) неевклидовой геомет-

рии Лобачевским и независимо от него Бойяи. Хотя уче-

ные вообще продолжали рассматривать Евклидову гео-

метрию как единственную форму физического простран-

ства, чистые математики считали, что другие геометрии

являются ≪мыслимыми≫, то есть логически допустимыми,

тогда как философы отрицали это. Признание этих дру-

гих геометрий значительно усилило позиции формали-

стов в их споре с интуиционистами по вопросу о природе

чистой математики. Тем не менее в своей знаменитой

лекции, прочтенной им в Амстердаме в 1913 году,

Брауэр утверждал: ≪Какими слабыми ни казались пози-

ции интуиционизма после этого периода развития мате-

матики, он укрепил их, отказавшись от кантовской ап-

риорности пространства и более решительно признав

априорность времени≫1. Брауэр считал, что ≪моменты

, жизни, распавшиеся на качественно различные части,

должны быть воссоединены, если их разделяет только

время≫; иными словами, физиологический факт, со-

стоящий в том, что наш разум оперирует с помощью по-

следовательных актов 1внимания,, есть фундаментальное

явление человеческого ума, которое в результате про-

цесса абстрагирования составляет основу всего матема-

тического мышления —≪интуицию чистой двуединости≫.

При повторении этот процесс приводит к образованию

всех конечных чисел, а бесконечное повторение позво-

ляет образовать сколь угодно малую конечную величину

ш. Это же фундаментальное интуитивное понимание дает

начало ≪интуитивному пониманию линейного континуума,

то есть отношения ≪между≫, которое нельзя исчерпать

путем введения между числами новых единиц, и по-

этому его нельзя считать только совокупностью единиц≫.

Брауэр сделал следующий вывод: ≪Таким образом, ап-

риорность времени квалифицирует как синтетические, ап-

риорные суждения не только свойства арифметики,

но и свойства геометрии, причем не только элементарной,

двух- или трехмерной геометрии, но также неевклидо-

вых и n-мерных геометрий. Ибо со времени Декарта мы

научились сводить все эти геометрии к арифметике с

помощью метода координат≫.

Последние пятьдесят лет показали, что интуициони-

стам удалось защитить свои позиции от критических атак

как формалистов, так и тех, кто рассматривает матема-

тику как один из разделов логики. Брауэр и его после-

дователи основное внимание уделяли проблемам, связан-

ным с природой чистой математики и ее основаниями,

но их достижения все более настоятельно ставят перед

нами воярос о проверке фундаментального, с их точки

зрения, предположения об априорности времени. Мы

можем здесь руководствоваться критическим анализом

кантовской доктрины пространства, который был осу-

ществлен Гельмгольцем. Гельмгольц указал, что" эту док-

трину можно разделить на две части: 1) пространство

есть чистая форма интуиции; 2) Евклидова геометрия

есть единственно возможная наука о пространстве и

справедлива априори. Он считал, что второе положение

не является необходимым следствием первого, а факти-

чески отрицает его. Однако Гельмгольц принимал пер-

вое положение, хотя, по его мнению, из него нельзя

сделать никаких выводов, кроме того, что все вещи в

природе обладают пространственной протяженностью'.

Можем ли мы принять подобное отношение к кантовской

доктрине времени? Для достижения цели, которую ста-

вил перед собой Брауэр, необходимо лишь предполо-

жить, что время есть ≪чистая форма интуиции≫ в обыч-

ном смысле этого слова, согласно которому наш опыт

характеризуется временным следованием, основанным

на двухчленном отношении: до —после. Нет необходи-

мости принимать точку зрения Канта, согласно которой

приписывание временных характеристик вселенной как

таковой неизбежно приводит к логическим антиномиям

и что время поэтому является не чем иным, как формой

нашего внутреннего ощущения.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я