• загрузка...
    5

1.2. Показатели измерения неравенства в распределении доходов

загрузка...

Другим ключевым понятием в нашем исследовании является

"неравенство в распределении доходов". Неравенство по доходам

имеет большое количество операционализаций. За этими операцио-

нализациями стоят различные концептуальные представления о не-

равенстве, которые воплощаются в конкретных измерителях. Наи-

более широко известна концепция равенства Лоренца, согласно ко-

торой для каждого индивида в совокупности должно наблюдаться

равенство его доли в совокупности населения и доли его дохода в

суммарном доходе совокупности. Невыполнение этого условия от-

ражается в отклонении кривой Лоренца от идеальной прямой, сим-

волизирующей полное равенство.

При измерении неравенства за "точку отсчета" отклонений от

равенства выбирают, как правило, один из параметров распределе-

ния. Соответственно, каждый объект, имеющий доход, отличный от

принятого за точку отсчета, делает свой вклад в неравенство. Мерой

неравенства, характеризующей то или иное распределение, будет

величина вклада, приходящаяся в среднем на один объект. Согласно

этому представлению, чем больше объектов расположено ближе к

"точке отсчета", тем меньше неравенство, а чем дисперснее их рас-

пределение, тем больше неравенство. В основе многих мер неравен-

ства лежит среднее значение распределения как "точка отсчета".

Энтони Шорроксом [Shorrocks A., 1978] была предложена фор-

мула, обобщающая широкий класс аддитивных мер неравенства:

= Σ

i

i x

n

I x ( )

1

( ) μ

φ , (1)

где φ''(.) > 0, а μ – средний уровень дохода x, где x означает вектор

доходов в фиксированный момент времени t (x = X(t)). В форму-

ле (1) условие φ''(.) > 0 означает строгую выпуклость функции φ.

Замысел нашего исследования состоит в определении влияния

мобильности по доходам на изменение неравенства. В нашей работе

в качестве "точки отсчета" выбрана медиана распределения. Выра-

зив доходы каждого объекта через отношение к медиане, мы полу-

чаем вариационный ряд промедианных доходов, где промедианный

доход каждого объекта отражает его отклонение от "точки" равен-

ства – медианы.

Вкладом объекта i в неравенство в соответствии с этим будем

называть значение Z 2 (t) i .

Изменение вклада объекта i в неравенство в период (t0 , t1) имеет вид:

Di = ( ) 1

Z 2 t i ( ) 0

Z2 t i . (2)

Если Di > 0 , то объект i увеличил свой вклад в неравенство, если

Di < 0 – уменьшил; Di = 0 – вклад объекта в неравенство остался

неизменным.

Таким образом, сравнение промедианных доходов объекта в раз-

ные моменты наблюдения используется одновременно и для опре-

деления направления мобильности объекта ( ( ) ( )) 1 0 Z t Z t i i , и для

оценки изменения его вклада в неравенство ( ( ) ( )) 0

2

1

Z2 t Z t i i .

Исходя из этого справедливо следующее:

– чем дальше объект расположен от медианы, тем больший

вклад в неравенство он делает и тем больший вклад в изменение

неравенства может внести его мобильность;

– если изменение дохода объекта выражается в увеличении уда-

ленности объекта от медианы, то он вносит вклад в рост неравенст-

ва в совокупности; если изменение дохода объекта выражается в

уменьшении удаленности объекта от медианы, то он вносит вклад в

сокращение неравенства в совокупности.

При предлагаемом подходе зависимость между мобильностью и

изменением вклада объекта в неравенство в общем случае не имеет

линейного характера. Мобильность может не приводить к измене-

нию вклада объекта в неравенство. Это происходит, когда объект,

перемещаясь, оказывается на том же расстоянии от медианы, но по

другую сторону.

Соотношение суммарных объемов уменьшения и увеличения

вкладов в неравенство отражает динамику неравенства: когда по

совокупности объектов суммарный вклад в увеличение неравенства

превышает суммарный вклад в уменьшение неравенства, неравен-

ство увеличивается, если наблюдается обратное – неравенство

уменьшается, баланс суммарных вкладов в уменьшение и увеличе-

ние говорит о сохранении уровня неравенства.

Используемый в работе показатель неравенства будем называть

промедианной мерой неравенства доходов Ime . Она имеет сле-

дующий вид:

= Σ = Σ

i

i

i

me i X t me t

n

Z t

n

I X t ln ( ( ) / ( ))

1

( )

1

( ( )) 2 2 . (3)

Как и другие аддитивные меры неравенства промедианная мера Ime

изменяется от 0, отражающего полное равенство, до бесконечности.

Как аддитивный показатель Ime является мерой неравенства,

приходящейся на один объект, т. е. Ime представляет собой среднее

наблюдений случайной величины. Поэтому при анализе ее измене-

ния имеется возможность исследовать разность мер неравенства для

разных моментов времени и измерять доверительные интервалы этой

разности на генеральной совокупности. Это позволяет оценивать ста-

тистическую значимость происходящих изменений неравенства.

Тестирование промедианной меры неравенства. Использование

нетрадиционной меры неравенства предполагает обсуждение ее

свойств, отличий от других известных показателей неравенства.

Казалось бы логичным на модельном примере сообщества из не-

скольких человек на разные моменты времени оценить динамику

неравенства с помощью промедианной меры неравенства и широко

используемых показателей неравенства. Согласованность оценок

динамики неравенства служила бы показателем релевантности но-

вого показателя для измерения неравенства. Но не все так просто.

Даже в нешироком круге активно используемых показателей нера-

венства может наблюдаться рассогласованность в оценке динамики

неравенства.

Если обратиться к материалам международной сравнительной

базы данных по распределению доходов в 25 странах мира

Luxembourg Income Study (LIS), то можно заметить наличие рассо-

гласований в оценке динамики неравенства между коэффициентом

Джини и индексами Аткинсона (0,5), (1,0): коэффициент Джини

растет, а индекс(ы) Аткинсона неизменны или снижаются. Это на-

блюдалось для данных по Италии в 1986 – 1991 гг., и Люксембургу

в 1985 – 1991 гг., и Нидерландам в 1987 – 1991 гг., и Швеции в

1992 – 1995 гг., и Великобритании в 1969 – 1974 гг., и Соединенным

Штатам Америки в 1986 – 1991 гг. (http://www.lis.ceps.lu/ineq.htm).

Проблема рассогласования показателей неравенства обсуждается

и в работе российских исследователей А. Шевякова и А. Кируты

 [Шевяков А., Кирута А., 1999, с. 5 – 6]. Они это продемонстрирова-

ли на модельном примере из 10 человек, рассмотрев три вариаци-

онных ряда распределения доходов с одним и тем же уровнем сред-

недушевого дохода 500,0.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 128,9 154,6 180,4 206,2 257,7 309,3 515,5 824,7 1134,0 1288,7

2 63,4 92,6 112,1 355,8 501,9 550,7 599,4 843,1 891,8 989,3

3 39,5 63,2 237,0 316,0 513,4 552,9 631,9 710,9 908,4 1026,9

Они задались вопросом, в каком из этих распределений неравен-

ство наибольшее. Для этого были использованы следующие показа-

тели неравенства: F – децильный коэффициент, G – стандартный

индекс Джини, A(-1), A(0), A(0,5) – индексы Аткинсона, T – энтро-

пийный индекс Тейла, V – коэфициент вариации доходов,

σ(log(x)) – стандартное отклонение логарифма дохода, G(2), G(4) –

индексы Какуани (см. табл. 2).

Т а бл и ца 2

Значения десяти индексов неравенства доходов

для распределений (1) – (3)

F G A(-1) A(0) A(0.5) T V σ (log x)

G(2) G(4)

1 10,0 0,430 0,453 0,280 0,150 0,307 0,817 0,803 0,627 0,662

2 15,6 0,367 0,575 0,297 0,137 0,244 0,648 0,966 0,632 0,701

3 26,0 0,363 0,651 0,15 0,138 0,239 0,637 1,055 0,628 0,701

Обозначив соотношение величин индексов неравенства в вариа-

ционных рядах как соотношение номеров этих рядов (например,

если неравенство в вариационном ряду с номером i больше, чем в

вариационном ряду с номером j, то это записывается как (i) > (j)),

получаем пять взаимно противоречивых упорядочений распределе-

ний по степени неравенства:

F, A(-1), A(0), σ(log(x)): (3) > (2) > (1)

G, T, V: (1) > (2) > (3)

A(0,5): (1) > (3) > (2)

G(2): (2) > (3) > (1)

G(4): (2) (3) > (1)

Если на этом модельном примере рассчитать промедианную ме-

ру неравенства (Ime), то ее значения для трех распределений будут

следующими: 0,702; 1,096; 1,308. Соответственно, (3) > (2) > (1). На

этом модельном примере Ime оценивает неравенство согласованно

только с F, A(-1), A(0), σ(log(x)).

Следовательно, в зависимости от выбора индекса неравенство в

любом из распределений (1) – (3) может быть оценено и как наи-

большее, и как наименьшее.

В своей работе А. Шевяков и А. Кирута делают вывод, что "по-

пытки отдать приоритет какому-либо одному индексу неравенства

бессмысленны: каждый индекс представляет интерес лишь в рамках

расширенной системы измерений, в которой уровень жизни, нера-

венство, бедность, нормальное неравенство (при исключении бедно-

сти) и избыточное неравенство, обусловленное бедностью, оценива-

ются согласованно и совместно" [Шевяков А., Кирута А. 1999, с. 6].

Приведенные примеры показывают, что сравнения результатов

измерений неравенства, выполненные с помощью различных пока-

зателей неравенства, имеют лишь относительную ценность и не да-

ют оснований для определения, какие из показателей лучше, какие

хуже, какие более правильные, а какие – менее. Измерения приво-

дят к разным результатам, поскольку в показателях заложена разная

степень "жесткости" в оценки неравенства и разная чувствитель-

ность к неравенству в различных частях распределения. Поэтому

важен социально-экономический смысл, который стоит за конкрет-

ным показателем, позволяющий аргументировано и непротиворе-

чиво интерпретировать полученные результаты именно в рамках

используемого подхода.

В нашем случае, в промедианной мере неравенства Ime ключевым

параметром является промедианный доход. Именно промедианный

доход позволяет оценивать неравенство и мобильность совместно и

согласованно. Величина промедианного дохода определяет вклад

объекта в неравенство, а изменение промедианного дохода рассмат-

ривается как мобильность объекта по доходам.

В работе Э. Шоррокса [Shorrocks A., 1988, p. 430 – 435] сформу-

лированы требования к измерителям неравенства по доходам I (x):

1) симметрия или инвариантность по отношению к перестанов-

кам компонент вектора доходов x;

2) "принцип трансфертов" Пижо-Дальтона (Pigou-Dalton) –

уменьшение величины I(x) при прогрессивном преобразовании x.

Прогрессивным преобразованием x называется вектор доходов y,

совпадающий с x, за исключением i-й и j-той компонент, для кото-

рых xi < xj, a yi = xi + d, yj = xj d, 0 < d < xj xi;

3) непрерывность по x;

4) если xi = const i =1,n, I (x) = 0;

5) инвариантность к повторению данных;

6) инвариантность к единицам измерения доходов: I(cx) = I(x),

c > 0.

Как показано А. Шорроксом (1980), всем этим требованиям от-

вечает только показатель обобщенной энтропии:

H(x)= Σ ⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎟⎠

⎜⎝

i

c

i x

nc c

1

( 1)

1

μ

, (4)

где μ – средняя величина доходов.

При c = 0 показатель H(x) принимает вид индекса неравенства

Тейла (Theil):

= Σ = Σ

i

i

i

i x

n

x x x

n

Theil x ln( )

1

(ln( ( )) ln( )) ln( ( ))

1

( ) μ μ (5)

где μ(x) средний доход, вычисленный по вектору x.

Можно видеть, что при логарифмически нормальном распреде-

лении доходов 4 Σi

i x

n

ln( )

1

является оценкой E(ln(X)) = ln(me). При

использовании промедианного дохода эта величина близка к нулю,

4 В условиях логарифмически нормального распределения доходов имеет место

следующее:

∫∞

0

(ln(x /me))2 f (x)dx = E[(ln(x/me)2 ] = σ2, где f(x) – функция плотности

распределения доходов.

19

а величина ln(μ(x)) является оценкой ln(E(x)) = 2

2

1

σ . Следователь-

но, при логарифмически нормальном распределении доходов в

асимптотике показатель Ime (x) (3) эквивалентен индексу Тейла (5).

Таким образом, учитывая приближенно логарифмически нор-

мальное распределение доходов, можно утверждать, что индекс не-

равенства Тейла и промедианная мера неравенства Ime (x) характери-

зуют одно и тоже – форму плотности распределения доходов, а

именно – дисперсию логарифма доходов.

Мы проверили показатель Ime(x) на соответствие требованиям,

описанным Э. Шорроксом. Ime(x) отвечает (1), (3) – (6) требованиям

однозначно (cм. приложение 1), а требованию (2) при определенных

условиях.

Как пишет Э. Шоррокс, соответствие меры неравенства "прин-

ципу трансфертов" (требование 2) является самой фундаментальной

характеристикой неравенства, и если этому требованию показатель

не удовлетворяет, то трудно считать его валидным показателем не-

равенства [Shorrocks А., 1988, p. 432]. Вместе с тем, этому требова-

нию отвечают далеко не все из широко известных и часто исполь-

зуемых мер неравенства. Так, не отвечают "принципу трансфертов"

логарифмическая дисперсия (the logarithmic variance) и дисперсия

логарифмов (the variance of logarithms).

На соответствии требованию (2) промедианной меры неравенст-

ва остановимся специально.

В каждом обществе имеются свои критерии бедности, которые

разделяют население на бедных и небедных. Социальный смысл

трансфертов заключается в передаче средств от небедных к бедным

с целью уменьшения неравенства и социальной напряженности в

обществе. Это осуществляется посредством налогообложения, как

правило, прогрессивного, с последующим регрессивным перерас-

пределением собранных средств среди бедных. Принцип Пижо-

Дальтона сформулирован для общего случая: осуществляется пере-

дача средств от индивида, имеющего более высокий доход, к инди-

виду, имеющему более низкий доход, без какого-либо социального

водораздела между ними. Под общий случай попадают и передачи

от одного миллионера к другому, чуть менее преуспевающему, но

это не находится в фокусе социальной политики.

П. Ламберт описывает другой случай, близкий по социально-

му смыслу принципу Пижо-Дальтона: рассматриваются транс-

ферты между двумя подпопуляциями в обществе – от более бога-

тых к более бедным. Речь идет о малых трансфертах, которые

распределительно нейтральны по их влиянию и на доноров, и на

реципиентов (трансферт не изменяет иерархию доходов:

сохраняются ранги доходов). Осуществляется прогрессивное об-

ложение богатых и регрессивное перераспределение среди бед-

ных, и, как показал П. Ламберт, неравенство в популяции умень-

шается [Lambert P. J., 1992].

Улавливает ли прогрессивность трансфертов промедианная мера

неравенства Ime?

Да, при следующих условиях, которые не противоречат этике

трансфертов:

– подпопуляции "доноров" и "реципиентов" не пересекаются: доход

самого бедного из богатых выше дохода самого богатого из бедных;

– "реципиенты" находятся ниже медианы.

С точки зрения нашей концепции о связи между мобильностью и

изменением неравенства, в случае, когда границей между бедными

и богатыми выступает медиана, прогрессивное изъятие средств у

богатых приводит к нисходящей мобильности по доходам, которая

уменьшает их вклад в неравенство, а регрессивная передача средств

бедным ведет к восходящей мобильности, также уменьшающей

вклад бедных в неравенство. В результате неравенство в популяции

уменьшается.

В реальности бедных от небедных отделяет черта бедности, ко-

торая, как правило, ниже медианы. В этом случае доноры, доход

которых ниже медианы, но выше черты бедности, осуществляя

вследствие трансферта нисходящую мобильность, увеличивают

свой вклад в неравенство. Уменьшится ли неравенство в совокупно-

сти и в этом случае?

Да, уменьшается и в этом случае. В приложении 2 содержится мате-

матическое доказательство того, что при малых величинах трансфертов

от небедных к бедным (имеющим доходы ниже черты бедности) проме-

дианная мера неравенства "диагностирует" уменьшение неравенства и

приводятся результаты экспериментальных расчетов.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я