• 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Свойства промедианной меры неравенства Ime

В данном разделе мы рассмотрим вопрос, обладает ли предло-

женная мера Ime указанным выше списком свойств.

1. Инвариантность по отношению к перестановкам.

Это свойство непосредственно следует из аддитивности меры нера-

венства (3).

2. Непрерывность по x.

Поскольку слагаемые меры Ime(X) являются непрерывными

функциями от xi и me, достаточно доказать непрерывность медианы

как функции x.

Доказательство непрерывности медианы:

a) пусть n = 2k + 1, в этом случае медиана me = me(x) = x(k+1).

Пусть x(k1) < x(k1 + 1) = = x(k + 1) = = x(k2 1) <x(k2). В этом случае

изменения me(x) не превышают изменений x(k + 1), если изменения

компонент вектора x не превышают

min(x(k + 1) -x(k1), x(k2) x(k + 1))/2;

б) аналогично для n = 2k. Пусть x(k1) < x(k1 + 1) = = x(k) x(k + 1) =

= x(k2 -1) < x (k2). В этом случае, если изменения компонент вектора

x не превышают min(x(k) x(k1), x(k2) x(k+1))/2, изменения me(x) не пре-

вышают изменений (x(k) + x(k+1))/2.

Это доказывает непрерывность me(x) в обычном случае, когда

существуют соответствующие x(k1) и x(k2). В случае, когда x(k1) или

x(k2) отсутствуют, доказательство также не представляет сложности.

3. Если xi = const i = 1,n, то Ime(x) = 0.

В этом случае все промедианные доходы будут равны единице и

Ime(x) совпадет с суммой квадратов логарифмов единицы, т. е. будет

равна нулю.

4. Инвариантность к повторению данных.

Пусть вектор y получен q-кратным повторением вектора доходов

x. Для доказательства этого свойства достаточно показать, что при

повторении вектора доходов медиана не изменится. Cлагаемые

Ime(y) будут, в этом случае, q-раз повторенными слагаемыми Ime(x), а

общее число слагаемых равно nq.

При n = 2k вариационный ряд по y будет состоять из 2kq компо-

нент, при этом y(kq) = x(k), a y(kq + 1) = x(k + 1). Следовательно, медиана

этого ряда совпадает с me = (x(k) + x(k + 1))/2.

65

При n = 2k + 1 вариационный ряд по y будет состоять из 2kq + q

компонент.

Если q = 2s, то медиана y определяется полусуммой (y(kq + s) +

y(kq + s + 1))/2.

Поскольку y(kq + s)=y(kq + s + 1) = x(k), в этом случае медиана y совпа-

дает с me. Если q = 2s + 1, то медиана y определяется как y(kq + s + 1) =

x(k) = me.

5. Инвариантность к шкале измерения: Ime (cx) = Ime(x), c > 0.

Медианой вектора cx будет c*me, поэтому слагаемые Ime(cx),

равные ln2((cxi)/(c*me)), совпадают с ln2((xi)/(me)) – слагаемыми

Ime(x).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я