• загрузка...
    5

3.3. Основные вычисления

загрузка...

Идея использования асимметричной процедуры усечения принадлежит

Bryan, Cecchetti (2001)7. Целью ее является сохранение несмещенности

оценок по сравнению с заголовочной инфляцией (ср. требование R9). Сме-

щение может быть результатом скошенности распределения it . Bryan и

Cecchetti выбирали параметр асимметричности равным доле распреде-

ления темпов прироста, которая делает соответствующий квантиль равным

заголовочной инфляции. Альтернативная процедура, которую мы здесь ис-

пользовали, состоит в том, чтобы выбрать квантиль, который равен выбо-

рочному среднему.

Концептуально разница между заголовочной инфляцией и выборочным

средним существенна. Среднее первых разностей логарифмов соответ-

ствует геометрическому усреднению, в то время как в официальном ИПЦ

используется арифметическое усреднение. Кроме того, различие в мно-

жестве используемых товаров, весах и т.п. ведет к еще большему расхо-

ждению. Однако, как можно, например, увидеть из табл. 4. ниже, количе-

ственно эта разница не так значительна, и не должна поменять наши вы-

воды.

7 Roger (1997) по той же причине предлагает использовать квантиль несколько

выше 0.5.

апрель 1993

декабрь 1994

август 1996

апрель 1998

декабрь 1999

август 2001

0

0.1

0.2

0.3

Рис. 6. Сглаженная цена отправки письма по поч-

те, первые разности логарифмов

Рис. 8 показывает для каждого месяца долю, при которой взвешенный кван-

тиль становится равным взвешенному выборочному среднему. В среднем

она равнялась приближенно 0.543 в 1995–2001 гг.8 Следует отметить значи-

мую сезонность, являющуюся следствием сезонности в коэффициенте

асимметрии (ср. рис. 1(а)). Для отфильтрованных рядов доля равнялась

0.551, т.е. выше примерно на один процентный пункт.

Однако эта процедура не гарантирует того, что -усеченное среднее оста-

нется несмещенным при всех значениях , а не только при 0 и 1 .

8 Roger (1997) использовал 0.57 для Новой Зеландии, а Bryan, Cecchetti (2001) приво-

дят для Бразилии оценку 0.6.

6

4

2

0

–2

а

80

60

40

20

0

апрель 1993

декабрь 1994

август 1996

апрель 1998

декабрь 1999

август 20001

б

Рис. 7. Динамика асимметрии (а) и эксцесса (б)

для рядов, подвергнутых предварительной фильт-

рации

Поэтому мы рассчитали для набора значений 0.01, 0.02 , ..., 1.00

и для всех периодов соответствующие приближенные значения , для

которых асимметричное -усеченное среднее равно среднему. Затем

было рассчитано среднее для каждого (рис. 9), и получена аппрок-

симация $() .

Для того, чтобы оценить базовую инфляцию с помощью метода усеченного

среднего, необходимо также выбрать . Сначала мы использовали критерий

волатильности: оценки базовой инфляции должны быть наименее волатиль-

ными из оценок усеченного среднего. Это соответствует требованию R4.

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

апрель 1993

декабрь 1994

август 1996

апрель 1998

декабрь 1999

август 2001

б

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

а

Рис. 8. Квантиль, соответствующий выборочному

среднему, 1993–2001 гг.; исходные данные (а) и

предварительно отфильтрованные данные (б)

Предположим, что инфляцию можно аппроксимировать авторегрессией 1-го

порядка9 с коэффициентом , так что !t −!t −1 — приблизительно белый

шум. Тогда мы выбираем , который бы минимизировал стандартное от-

клонение !"!−

1 t t где " — оценка параметра . Мы используем одно и

то же " для всех и берем его из авторегрессии 1-го порядка для заголо-

вочной инфляции10.

Оценка из авторегрессии 1-го порядка для инфляции ИПЦ, включающей

свободный член и две фиктивные переменные (для сентября и октября

1998) равна 0.81 для 1995–2001 гг. Это довольно близко к 1, если принять во

9 Для российских данных это выполняется.

10 Можно было бы также оценить его для каждого используя t

! .

0.59

0.58

0.57

0.56

0.55

0.54

0.53

0.52

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.60

0.59

0.58

0.57

0.56

0.55

0.54

 

а

б

 

Рис. 9. Выбор при = 0.01, ..., = 1.00 по исходным

данным (а) и по предварительно отфильтрованным

данным (б)

внимание, что оценка смещена к нулю11. То, что 1, частично подтвер-

ждается результатами тестов на единичные корни. Мы использовали оба

варианта оценки, один с 0.81, а другой с 1, и обнаружили, что ре-

зультаты практически неразличимы (с точностью до множителя). В после-

дующем мы берем 1, так что выбирается на основе стандартного от-

клонения t

!.

Рис. 10 показывает, как стандартное отклонение t

!для $() зависит

от . График для исходных данных говорит о том, что следует выбрать

11 Небольшой эксперимент методом Монте-Карло показывает, что для гауссовского

случайного блуждания длиной 85 около 27% оцененных коэффициентов процесса

AR(1) оказываются ниже 0.81.

0.046

0.042

0.038

0.034

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.040

0.038

0.036

0.034

0.032

а

б

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение

Рис. 10. Выбор при = () по исходным данным (а)

и по предварительно отфильтрованным данным (б)

~

1 (чему соответствует 0.542 ). Это означает, что оптимальным вы-

бором является 0.54-квантиль. Для предварительно отфильтрованных дан-

ных выбор менее очевиден. Минимум достигается при 0.93 (с соответ-

ствующим 0.559 ), но любое из интервала [0.75,1] представляется

почти столь же хорошим, как и 0.93 .

Как указывалось выше, выборочное среднее не является наиболее эффек-

тивной оценкой среднего генеральной совокупности для распределения, ко-

торое является скошенным и имеет длинные хвосты. Еще один подход к

выбору состоит в том, чтобы непосредственно добиваться статистиче-

ской эффективности измерителя базовой инфляции. При данном распреде-

лении приростов отдельных цен (генеральной совокупности), можно задать-

ся целью поиска оценок, которые бы имели наименьшую дисперсию в неко-

тором семействе несмещенных оценок.

Мы использовали функцию $() , чтобы обеспечить несмещенность и

провели серию бутстреп-экспериментов, чтобы определить, как стандартное

отклонение меняется с изменением . Усеченные средние рассчитывались

в предположении, что длинный вектор нормированных приростов цен # ,

определенный выше, представляет генеральную совокупность приростов

цен. Мы провели бутстреп, создавая выборки с возвращением из # и сде-

лали 1000 бутстреп-экспериментов для каждого . Для каждого оцени-

валось стандартное отклонение для выборки из 1000 бутстрепных значений

усеченного среднего.

Результаты бутстрепа показаны на рис. 11 вместе со сглаженной линией,

полученной по ядерной регрессии. Оптимальный параметр усечения должен

лежать где-то около 0.85 (хотя любое значение большее 0.5 представля-

ется приемлемым). В этом интервале стандартное отклонение усеченного

среднего примерно в три раза ниже стандартного отклонения обычного

среднего. Эта оценка выигрыша в эффективности действительно очень ве-

лика12.

Для отфильтрованных рядов оптимальный параметр усечения должен быть

около 0.63 (с широким интервалом подходящих значений вокруг). Для

0.63 стандартное отклонение усеченного среднего примерно в два раза

ниже стандартного отклонения обычного среднего.

12 Bryan, Cecchetti (1999) получили еще больший выигрыш в эффективности, исполь-

зуя данные по Японии. Для Японии отношение равнялось 3.9. Однако они использо-

вали исходные приросты цен, без масштабирования. Это должно было привести к

«генеральной совокупности» с большим куртозисом и завышению выигрыша в эф-

фективности.

Для параметра доли усечения 0.85 "несмещенным" выбором параметра

асимметрии будет примерно 0.558. На рис. 13 показан соответствующий

ряд t

! , а также ряд заголовочной инфляции.

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

Стандартное отклонение

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 12. Стандартные отклонения, полученные из бутстрепа, по предва-

рительно отфильтрованным данным

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006

Стандартное отклонение

Рис. 11. Стандартные отклонения, полученные из бутстрепа, по исход-

ным данным

На рис. 14(а) показана разность между темпом заголовочной инфляции и

нашими оценками по усеченному среднему (которую можно интерпретиро-

вать как "внебазовую" инфляцию). Разность наибольшая в сентябре 1998 г.;

оценка по усеченному среднему лежит ниже. Стандартное отклонение при-

мерно равно 0.01, что означает, что в среднем усеченное среднее корректи-

рует ИПЦ на 1 процентный пункт. Часто поправка по порядку величины со-

поставима с самим темпом инфляции. Видно также, что оценки по усечен-

ному среднему менее чувствительны к сезонным флуктуациям.

Для предварительно отфильтрованных рядов и параметра доли усечения

0.63 "несмещенным" выбором параметра асимметрии будет пример-

но 0.574. Соответствующая внебазовая инфляция показана на рис. 14(б).

Она не слишком отличается от внебазовой инфляции, полученной на основе

исходных рядов.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я